Em um campeonato de futsal entre cinco equipes, o qual denominaremos pelos números 1 o time A, 2 o time B, 3 o time C, 4 o time D e 5 o time D, a matriz G = (gij)5x5, em que cada elemento gij, indica a quantidade do gols que a equipe i fez quando jogou com a equipe j.
A pontuação por jogo é definida da seguinte forma:
* Vitória: 2 pontos.
* Empate: 1 ponto.
* Derrota: 0 ponto.
Caso aconteça empate na pontuação das equipes, os demais critérios de desempate são:
* 1º maior número de vitórias.
* 2º maior saldo de gols.
* 3º maior número de gols pró (gols feitos)
Desta forma, com base na matriz B e as informações sobre a pontuação e desempate:
a) (4 pontos) Determine o resultado de todos os dez jogos realizados. (exemplo: A x B = 5 x 4)
b) (6 pontos) Construa uma tabela que apresenta a classificação final após todos os jogos, descrevendo para cada coluna a seguinte informação:
Classificação | Equipe | Pontuação | Vitórias | Empates | Derrotas | Gols Marcados | Gols Contra | Saldo de Gols

Vamos trabalhar na solução do problema de futsal que envolve a matriz de resultados dos jogos entre as cinco equipes. Denotamos as equipes por \( A, B, C, D, E \) e a matriz \( G = (g_{ij})_{5x5} \), onde \( g_{ij} \) representa o número de gols que a equipe \( i \) fez contra a equipe \( j \).

### Parte (a) - Resultados dos Jogos

Para determinar os resultados de todos os jogos, precisamos olhar os elementos da matriz \( G \). Como cada equipe jogou com todas as outras, teremos 10 jogos, já que são 5 equipes e cada uma joga contra as outras uma vez (combinando duas equipes por jogo: \( \binom{5}{2} = 10 \)).

Seja a matriz \( G \) a seguinte:

\[
G = 
\begin{pmatrix}
- & g_{12} & g_{13} & g_{14} & g_{15} \\
g_{21} & - & g_{23} & g_{24} & g_{25} \\
g_{31} & g_{32} & - & g_{34} & g_{35} \\
g_{41} & g_{42} & g_{43} & - & g_{45} \\
g_{51} & g_{52} & g_{53} & g_{54} & - \\
\end{pmatrix}
\]

Agora, vamos descrever os 10 jogos com base na matriz \( G \), onde cada \( g_{ij} \) é o número de gols da equipe \( i \) contra a equipe \( j \):

1. **A x B**: \( g_{12} \times g_{21} \)
2. **A x C**: \( g_{13} \times g_{31} \)
3. **A x D**: \( g_{14} \times g_{41} \)
4. **A x E**: \( g_{15} \times g_{51} \)
5. **B x C**: \( g_{23} \times g_{32} \)
6. **B x D**: \( g_{24} \times g_{42} \)
7. **B x E**: \( g_{25} \times g_{52} \)
8. **C x D**: \( g_{34} \times g_{43} \)
9. **C x E**: \( g_{35} \times g_{53} \)
10. **D x E**: \( g_{45} \times g_{54} \)

Cada uma dessas expressões representa um resultado de jogo.

### Parte (b) - Tabela de Classificação Final

Agora, vamos montar a tabela de classificação com base nos critérios fornecidos. A tabela deve incluir as seguintes colunas:

1. **Classificação**: a posição final de cada equipe.
2. **Equipe**: o nome da equipe (A, B, C, D, ou E).
3. **Pontuação**: a pontuação total obtida.
4. **Vitórias**: o número de vitórias.
5. **Empates**: o número de empates.
6. **Derrotas**: o número de derrotas.
7. **Gols Marcados**: o total de gols feitos pela equipe.
8. **Gols Contra**: o total de gols sofridos pela equipe.
9. **Saldo de Gols**: a diferença entre gols marcados e sofridos.

Para construir a tabela, seguimos o cálculo:

1. **Pontuação**: Para cada vitória, a equipe ganha 2 pontos, para cada empate 1 ponto, e para cada derrota 0 ponto.
2. **Vitórias**: Cada jogo em que \( g_{ij} > g_{ji} \) conta como uma vitória para a equipe \( i \).
3. **Empates**: Quando \( g_{ij} = g_{ji} \), isso conta como empate.
4. **Derrotas**: Quando \( g_{ij} < g_{ji} \), isso conta como derrota para a equipe \( i \).
5. **Gols Marcados**: A soma de todos os \( g_{ij} \) para cada equipe \( i \) fornece o total de gols marcados.
6. **Gols Contra**: A soma de todos os \( g_{ji} \) para cada equipe \( i \) fornece o total de gols sofridos.
7. **Saldo de Gols**: É a diferença entre os gols marcados e os gols sofridos.

---

Para que eu possa completar este cálculo e te fornecer a tabela completa, preciso que você me forneça os valores da matriz \( G \). Esses valores indicam os gols feitos por cada equipe em cada jogo. Você tem esses valores ou prefere que eu crie uma matriz fictícia para continuar o exemplo?

Se precisar de ajuda com qualquer parte, me avise!

### Perguntas Relacionadas:

1. Qual seria o resultado esperado se todas as equipes tivessem a mesma quantidade de vitórias?
2. Como o saldo de gols afeta a classificação em um empate de pontos?
3. Qual seria a diferença entre pontos ganhos por vitória em comparação com pontos ganhos por empate?
4. Se uma equipe não sofrer gols em nenhum jogo, qual impacto isso teria no saldo de gols?
5. Como seria a classificação se todos os jogos terminassem empatados?

### Dica:
Para competições em grupo, manter uma boa defesa (baixo número de gols sofridos) pode ser tão importante quanto marcar muitos gols, pois o saldo de gols é um critério decisivo em caso de empate.

Em um campeonato de futsal entre cinco equipes, o qual denominaremos pelos números 1 o time A, 2 o time B, 3 o time C, 4 o time D e 5 o time E, a matriz G = (gij)5x5, em que cada elemento gij, indica a quantidade do gols que a equipe i fez quando jogou com a equipe j. A pontuação por jogo é definida da seguinte forma: * Vitória: 2 pontos. * Empate: 1 ponto. * Derrota: 0 ponto. Caso aconteça empate na pontuação das equipes, os demais critérios de desempate são: * 1º maior número de vitórias. * 2º maior saldo de gols. * 3º maior número de gols pró (gols feitos). Desta forma, com base na matriz B e as informações sobre a pontuação e desempate: a) (4 pontos) Determine o resultado de todos os dez jogos realizados. (exemplo: A x B = 5 x 4) b) (6 pontos) Construa uma tabela que apresenta a classificação final após todos os jogos, descrevendo para cada coluna a seguinte informação: Classificação | Equipe | Pontuação | Vitórias | Empates | Derrotas | Gols Marcados | Gols Contra | Saldo de Gols

Learn how to determine the results of ten futsal matches using matrix operations and create a final ranking table based on the scoring rules. This problem involves matrix analysis, combinatorics, and statistical calculations. Suitable for students in Grades 9-12.

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