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El problema involucra un triángulo rectángulo \( \triangle JKL \), donde los datos relevantes son los siguientes:

- El ángulo \( \angle KJL = 90^\circ \),
- El ángulo \( \angle K = 60^\circ \),
- La longitud del lado \( LJ = 3 \),
- La longitud del lado \( KJ = 5.2 \).

Para resolver qué expresiones representan la longitud del lado \( KL \), usaremos relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

### Paso 1: Identificar la relación entre los lados

Dado que el ángulo en \( K \) es \( 60^\circ \), podemos usar la función seno y coseno para relacionar los lados:

- La función seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como:
  \[
  \sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}.
  \]
  En este caso:
  \[
  \sin(60^\circ) = \frac{LJ}{KL} = \frac{3}{KL}.
  \]
  Por lo tanto, \( KL = \frac{3}{\sin(60^\circ)} \).

### Paso 2: Analizar las opciones

- Opción **A**: \( \frac{3}{\sin(60^\circ)} \) es correcta.
- Opción **B**: \( \frac{5.2}{\sin(60^\circ)} \) no es válida, ya que el lado \( KJ = 5.2 \) no está relacionado con \( KL \) a través del seno de \( 60^\circ \).
- Opción **C**: \( \frac{3}{\sin(90^\circ - 60^\circ)} = \frac{3}{\sin(30^\circ)} \) también es correcta, porque \( \sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) \), y \( \sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) \), que es una relación válida.
- Opción **D**: \( \frac{5.2}{\sin(90^\circ - 60^\circ)} = \frac{5.2}{\sin(30^\circ)} \) no es válida, ya que la longitud \( KJ \) no se relaciona con \( KL \) a través de esta expresión.

### Respuesta final:
Las respuestas correctas son:

- **A**: \( \frac{3}{\sin(60^\circ)} \),
- **C**: \( \frac{3}{\sin(90^\circ - 60^\circ)} \).

¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte de la solución?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relacionan las funciones seno y coseno en un triángulo rectángulo?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para encontrar la longitud de \( KL \)?
3. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones seno y coseno para ángulos complementarios?
4. ¿Cómo afecta el valor de \( KJ \) a las otras relaciones trigonométricas en el triángulo?
5. ¿Cómo podrías usar el teorema de Pitágoras para verificar los resultados?

**Tip**: Recuerda que en trigonometría, los ángulos complementarios (\( \theta \) y \( 90^\circ - \theta \)) tienen valores de seno y coseno intercambiados.

Understand how to find the side length of triangle KL in a right triangle using trigonometric ratios. This problem uses sine and cosine functions and the complementary angle theorem to determine the correct expressions representing the length of KL.

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