dados dos vértices opuestas de un cuadrado A(2,2) y C(-5,3). Hallar los otros dos vértices

Dado que los vértices opuestos de un cuadrado son \( A(2,2) \) y \( C(-5,3) \), podemos utilizar las propiedades de los cuadrados para encontrar los otros dos vértices, \( B(x_1, y_1) \) y \( D(x_2, y_2) \).

### Paso 1: Calcular el punto medio del segmento \( AC \)
El punto medio \( M \) de \( AC \) se encuentra utilizando la fórmula:
\[
M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)
\]
\[
M = \left(\frac{2 + (-5)}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{-3}{2}, \frac{5}{2}\right)
\]

### Paso 2: Determinar la longitud de la mitad de la diagonal
La diagonal \( AC \) del cuadrado se puede calcular usando la distancia entre los puntos \( A \) y \( C \):
\[
\text{Diagonal } AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
\]
\[
AC = \sqrt{(-5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]
La mitad de la diagonal sería:
\[
\text{Mitad de la diagonal } = \frac{5\sqrt{2}}{2}
\]

### Paso 3: Determinar la pendiente y la perpendicularidad
La pendiente de la diagonal \( AC \) es:
\[
\text{Pendiente de } AC = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{3 - 2}{-5 - 2} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}
\]
La pendiente de las líneas que forman los lados \( AB \) y \( BC \), que son perpendiculares a \( AC \), será la inversa negativa:
\[
\text{Pendiente perpendicular } = 7
\]

### Paso 4: Encontrar los otros vértices
Para hallar los otros vértices, aplicamos las ecuaciones de la recta con pendiente 7 que pasan por el punto medio \( M \):
- Para \( B(x_1, y_1) \):
  \[
  y_1 - \frac{5}{2} = 7\left(x_1 - \frac{-3}{2}\right)
  \]
- Para \( D(x_2, y_2) \):
  \[
  y_2 - \frac{5}{2} = 7\left(x_2 - \frac{-3}{2}\right)
  \]

Resolvemos para obtener los vértices \( B \) y \( D \).

### Cálculo Final (resolución):
Resolvemos el sistema, usando las distancias al punto medio para obtener:
- **Vértice B:** \( B = \left(-\frac{15}{7}, \frac{29}{7}\right) \)
- **Vértice D:** \( D = \left(\frac{9}{7}, \frac{1}{7}\right) \)

Estos son los otros dos vértices del cuadrado.

¿Te gustaría obtener más detalles sobre este cálculo o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo se puede verificar que los puntos forman un cuadrado?
2. ¿Qué otras propiedades tiene un cuadrado con respecto a sus diagonales?
3. ¿Cómo afecta el cambio de coordenadas en un plano a la forma de un cuadrado?
4. ¿Cuál es la relación entre la pendiente de las diagonales y los lados de un cuadrado?
5. ¿Cómo se puede calcular el área de un cuadrado dada su diagonal?
6. ¿Cómo cambia la fórmula si se trata de un rectángulo en lugar de un cuadrado?
7. ¿Es posible encontrar los vértices usando vectores en lugar de coordenadas?
8. ¿Qué importancia tiene el punto medio en la geometría de cuadriláteros?

**Tip:** Cuando trabajes con geometría analítica, las propiedades de las figuras y las pendientes son herramientas clave para resolver problemas.

Learn how to find the other vertices of a square when given the coordinates of two opposite vertices A(2,2) and C(-5,3). Includes step-by-step calculations using midpoint formula, distance formula, and equations of lines. Suitable for high school students.

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