Determine el punto de intersección entre las rectas dadas por: l1: (x-3)/2=(y+1)/4=(z-2)/-1 y l2: (x-1)/4=(y-1)/2=(z+3)/4

Para determinar el punto de intersección entre las rectas \( l_1 \) y \( l_2 \), vamos a parametrizar cada recta y luego resolver el sistema de ecuaciones resultante.

### Recta \( l_1 \):
La recta \( l_1 \) está dada por:
\[ \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{-1} \]

Podemos parametrizar esta recta usando un parámetro \( t \):
\[
\begin{cases}
x = 2t + 3 \\
y = 4t - 1 \\
z = -t + 2
\end{cases}
\]

### Recta \( l_2 \):
La recta \( l_2 \) está dada por:
\[ \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} \]

Podemos parametrizar esta recta usando un parámetro \( s \):
\[
\begin{cases}
x = 4s + 1 \\
y = 2s + 1 \\
z = 4s - 3
\end{cases}
\]

Para encontrar el punto de intersección, debemos encontrar los valores de \( t \) y \( s \) que satisfacen ambas parametrizaciones simultáneamente. Igualamos las ecuaciones de \( x \), \( y \) y \( z \) de ambas rectas:

1. Igualamos las \( x \):
\[ 2t + 3 = 4s + 1 \]
\[ 2t - 4s = -2 \]
\[ t - 2s = -1 \quad \text{(i)} \]

2. Igualamos las \( y \):
\[ 4t - 1 = 2s + 1 \]
\[ 4t - 2s = 2 \quad \text{(ii)} \]

3. Igualamos las \( z \):
\[ -t + 2 = 4s - 3 \]
\[ -t - 4s = -5 \]
\[ t + 4s = 5 \quad \text{(iii)} \]

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales formado por (i), (ii) y (iii).

Primero sumamos las ecuaciones (i) y (iii):
\[ t - 2s + t + 4s = -1 + 5 \]
\[ 2t + 2s = 4 \]
\[ t + s = 2 \quad \text{(iv)} \]

Luego, sumamos la ecuación (ii) y (iii):
\[ 4t - 2s + t + 4s = 2 + 5 \]
\[ 5t + 2s = 7 \quad \text{(v)} \]

Usamos la ecuación (iv) para despejar \( t \):
\[ t = 2 - s \]

Sustituimos \( t \) en la ecuación (v):
\[ 5(2 - s) + 2s = 7 \]
\[ 10 - 5s + 2s = 7 \]
\[ 10 - 3s = 7 \]
\[ -3s = -3 \]
\[ s = 1 \]

Sustituimos \( s = 1 \) en la ecuación (iv):
\[ t + 1 = 2 \]
\[ t = 1 \]

Ahora que tenemos \( t = 1 \) y \( s = 1 \), sustituimos estos valores en las parametrizaciones de las rectas para obtener el punto de intersección:

Para \( t = 1 \) en \( l_1 \):
\[
\begin{cases}
x = 2(1) + 3 = 5 \\
y = 4(1) - 1 = 3 \\
z = -1 + 2 = 1
\end{cases}
\]

Para \( s = 1 \) en \( l_2 \):
\[
\begin{cases}
x = 4(1) + 1 = 5 \\
y = 2(1) + 1 = 3 \\
z = 4(1) - 3 = 1
\end{cases}
\]

El punto de intersección es \( (5, 3, 1) \).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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8. ¿Cómo se puede representar gráficamente la intersección de dos rectas en un sistema tridimensional?

### Tip:
Para verificar tus soluciones en problemas de geometría analítica, siempre es útil sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones originales para confirmar que son correctos.

Learn how to find the intersection point between two 3D lines, l1: (x-3)/2=(y+1)/4=(z-2)/-1 and l2: (x-1)/4=(y-1)/2=(z+3)/4. Follow a detailed step-by-step solution involving parametrization and solving a system of linear equations. Suitable for advanced high school students studying parametrization of lines in 3D space.

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