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Vamos a resolver este nuevo ejercicio, donde la función es \( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x} \). Debemos encontrar un número crítico de esta función entre las opciones dadas.

### Pasos para resolver el problema:

1. **Definir la función**:  
   La función es \( f(x) = \sqrt{x^2 - 6x} \).

2. **Derivar la función**:  
   Aplicamos la derivada utilizando la regla de la cadena:

   \[
   f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x}} \cdot (2x - 6)
   \]

   Simplificamos la derivada:

   \[
   f'(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x}}
   \]

3. **Encontrar los puntos críticos**:  
   Los puntos críticos se encuentran cuando la derivada es igual a cero o cuando no está definida.

   Primero igualamos la derivada a cero:

   \[
   \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x}} = 0
   \]

   Esto ocurre cuando \( x - 3 = 0 \), es decir, \( x = 3 \).

   Además, consideramos dónde la derivada no está definida, lo cual ocurre cuando el denominador es cero:

   \[
   \sqrt{x^2 - 6x} = 0
   \]

   Lo que implica que \( x^2 - 6x = 0 \). Factorizamos:

   \[
   x(x - 6) = 0
   \]

   Esto nos da los valores \( x = 0 \) y \( x = 6 \).

4. **Verificación de las opciones**:
   Según las opciones dadas:

   - \( x = -6 \) no es un número crítico, ya que no satisface ninguna de las condiciones.
   - \( x = 5 \) no es un número crítico.
   - \( x = 3 \) es un número crítico porque \( f'(3) = 0 \).
   - \( x = 0 \) también es un número crítico porque la derivada no está definida en este punto.

### Respuesta:
El número crítico de \( f(x) \) es \( x = 3 \) y \( x = 0 \). De las opciones dadas, la correcta sería \( x = 0 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Qué sucede en el punto crítico \( x = 0 \) en términos del comportamiento de la función?
2. ¿Por qué es importante verificar los puntos donde la derivada no está definida?
3. ¿Cómo podemos determinar si un punto crítico es un máximo o mínimo?
4. ¿Qué relación existe entre el discriminante de la función cuadrática y los puntos críticos?
5. ¿Qué otros métodos existen para encontrar puntos críticos de funciones más complejas?
6. ¿Cómo afecta la naturaleza de la raíz cuadrada a la derivabilidad de la función?
7. ¿Qué interpretación geométrica podemos dar a los números críticos de esta función?
8. ¿Cómo se comporta la función en los intervalos entre los puntos críticos?

**Tip:** Para funciones con raíces cuadradas, es crucial analizar el dominio y puntos donde la función no es derivable para identificar todos los puntos críticos posibles.

Learn how to find critical points of the function f(x) = sqrt(x^2 - 6x) step-by-step. Understand the derivative using the chain rule and how to identify critical points using derivative rules. Suitable for advanced high school students studying calculus.

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