https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17258578439529pllh5am.pdf

puedes resolverlos con una estructura ordenada y correcta

Vamos a resolver los problemas uno por uno con una estructura ordenada. Empezaré por el primer ejercicio del documento.

### Ejercicio 1:

\[
\frac{4x^2 - 9}{2x^2 + 7x + 6} \times \frac{4x^4 + 6x^3 + 9x^2}{27x^4 + 8x}
\]

1. **Factorizamos cada expresión**:

   - \( 4x^2 - 9 \) es una diferencia de cuadrados:
     \[
     4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)
     \]

   - \( 2x^2 + 7x + 6 \) es un trinomio cuadrado. Aplicando factorización de trinomios:
     \[
     2x^2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)
     \]

   - \( 4x^4 + 6x^3 + 9x^2 \) es un factor común:
     \[
     4x^4 + 6x^3 + 9x^2 = x^2(4x^2 + 6x + 9) = x^2(2x + 3)^2
     \]

   - \( 27x^4 + 8x \) también tiene un factor común:
     \[
     27x^4 + 8x = x(27x^3 + 8)
     \]

2. **Sustituimos las factorizaciones en la fracción**:

\[
\frac{(2x - 3)(2x + 3)}{(2x + 3)(x + 2)} \times \frac{x^2(2x + 3)^2}{x(27x^3 + 8)}
\]

3. **Simplificamos eliminando factores comunes**:
   - Eliminamos \( (2x + 3) \) que está tanto en el numerador como en el denominador.
   - También podemos cancelar un \( x \).

\[
\frac{(2x - 3)}{(x + 2)} \times \frac{x(2x + 3)}{27x^3 + 8}
\]

4. **Resultado final simplificado**:
   \[
   \frac{(2x - 3) \cdot x(2x + 3)}{(x + 2)(27x^3 + 8)}
   \]

Este es el resultado simplificado del primer ejercicio.

---

### Ejercicio 2:

\[
\frac{a^3 - 8}{a^2 - 4} \div \frac{a}{a^3 + 8}
\]

1. **Factorizamos**:

   - \( a^3 - 8 \) es una diferencia de cubos:
     \[
     a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)
     \]

   - \( a^2 - 4 \) es una diferencia de cuadrados:
     \[
     a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)
     \]

   - \( a^3 + 8 \) es una suma de cubos:
     \[
     a^3 + 8 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)
     \]

2. **Sustituimos las factorizaciones**:

\[
\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} \div \frac{a}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}
\]

3. **Invertimos la segunda fracción y multiplicamos**:

\[
\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a + 2)} \times \frac{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}{a}
\]

4. **Simplificamos eliminando factores comunes**:
   - Eliminamos \( (a - 2) \) y \( (a + 2) \) que están en ambos numerador y denominador.

\[
\frac{(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)}{a}
\]

5. **Resultado final simplificado**:

\[
\frac{(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)}{a}
\]

---

### Ejercicio 3:

\[
\frac{2x + 6}{x^2 + 6x + 9} + \frac{5x}{x^2 - 9} + \frac{7}{x - 3}
\]

1. **Factorizamos**:

   - \( 2x + 6 = 2(x + 3) \)
   - \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
   - \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)

2. **Sustituimos las factorizaciones**:

\[
\frac{2(x + 3)}{(x + 3)^2} + \frac{5x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{7}{x - 3}
\]

3. **Simplificamos la primera fracción**:

\[
\frac{2}{x + 3} + \frac{5x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{7}{x - 3}
\]

4. **Sumamos las fracciones**:

   El mínimo común denominador es \( (x - 3)(x + 3) \). Reescribimos cada fracción con este denominador común y sumamos.

   \[
   \frac{2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{5x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{7(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}
   \]

5. **Resultado final simplificado**:

   Sumamos los numeradores y obtenemos:

   \[
   \frac{2(x - 3) + 5x + 7(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}
   \]

Este sería el proceso para resolver los primeros tres ejercicios de manera ordenada. ¿Te gustaría que continúe con los siguientes ejercicios o necesitas más detalles en alguno en particular? 

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelven las diferencias de cubos y cuadrados?
2. ¿Qué es la factorización de trinomios y cómo se aplica en problemas algebraicos?
3. ¿Cómo funciona la simplificación de fracciones algebraicas?
4. ¿Cómo se suma y resta fracciones con diferentes denominadores algebraicos?
5. ¿Cómo se utiliza la factorización en la resolución de ecuaciones complejas?

### Tip:
Al factorizar siempre intenta identificar patrones comunes como diferencia de cuadrados o cubos, ya que esto facilita mucho el proceso.

Step-by-step solutions for simplifying and factoring algebraic expressions, including exercises on difference of squares and cubes. Ideal for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation