Para expandir la expresión \(\left(\frac{1}{2}x^3 + 2\right)^8\) usando el teorema del binomio, seguimos el siguiente procedimiento:

### Teorema del binomio
El teorema del binomio nos dice que:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k
\]

En tu caso:
- \(a = \frac{1}{2}x^3\)
- \(b = 2\)
- \(n = 8\)

### Expansión

Aplicamos la fórmula del binomio para \(k\) de 0 a 8:

\[
\left(\frac{1}{2}x^3 + 2\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} \cdot \left(\frac{1}{2}x^3\right)^{8-k} \cdot 2^k
\]

Lo que resulta en la siguiente expansión:

\[
\left(\frac{1}{2}x^3 + 2\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} \cdot x^{3(8-k)} \cdot 2^k
\]

Simplificando los términos:

\[
\left(\frac{1}{2}x^3 + 2\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} \cdot 2^k \cdot x^{24 - 3k}
\]

Cada término en la expansión puede ser calculado como:

- El coeficiente binomial \(\binom{8}{k}\).
- El coeficiente \(\left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} \cdot 2^k\).
- La potencia de \(x^{24 - 3k}\).

La expansión completa incluye los nueve términos (para \(k = 0\) hasta \(k = 8\)).

### Ejemplo de los primeros tres términos:

1. **Para \(k = 0\):**
   \[
   \binom{8}{0} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot x^{24} = 1 \cdot \frac{1}{256} \cdot x^{24} = \frac{1}{256}x^{24}
   \]

2. **Para \(k = 1\):**
   \[
   \binom{8}{1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot 2 \cdot x^{21} = 8 \cdot \frac{1}{128} \cdot 2 \cdot x^{21} = \frac{8}{128} \cdot 2x^{21} = \frac{1}{8} \cdot 2x^{21} = \frac{1}{4}x^{21}
   \]

3. **Para \(k = 2\):**
   \[
   \binom{8}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot 4 \cdot x^{18} = 28 \cdot \frac{1}{64} \cdot 4 \cdot x^{18} = \frac{28}{64} \cdot 4x^{18} = \frac{7}{16} \cdot 4x^{18} = \frac{7}{4}x^{18}
   \]

Y así sucesivamente hasta \(k = 8\).

¿Te gustaría que siga expandiendo los términos o hay algo específico que quieres aclarar?

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula un coeficiente binomial?
2. ¿Qué ocurre cuando se cambia el exponente en una expansión binomial?
3. ¿Cómo se interpreta el resultado de una expansión binomial en términos de series?
4. ¿Cómo afecta el cambio de signos en la expansión binomial?
5. ¿Cuándo es más conveniente utilizar una expansión binomial aproximada en lugar de una completa?

**Tip:** La expansión binomial completa es útil, pero en muchos casos, solo los primeros términos son necesarios para aproximaciones o para analizar el comportamiento de la función.

Learn how to expand the expression (1/2 x^3 + 2)^8 using the binomial theorem. Detailed step-by-step explanation with examples, including binomial coefficients and terms. Suitable for high school students and anyone studying binomial expansions.

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