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L'exercice consiste à analyser l'évolution du prix d'une matière première entre 2012 et 2015. Je vais résoudre chaque question étape par étape.

### 1. Calculer le taux d'évolution global entre 2012 et 2015.
Pour cela, on utilise la formule de l'évolution globale :

\[
\text{Taux global} = (1 + T_1) \times (1 + T_2) \times (1 + T_3) - 1
\]

Où :
- \(T_1 = 12\%\) pour 2013,
- \(T_2 = -16\%\) pour 2014,
- \(T_3 = 18\%\) pour 2015.

Calculons ce taux d'évolution global.

\[
\text{Taux global} = (1 + 0,12) \times (1 - 0,16) \times (1 + 0,18) - 1
\]
\[
\text{Taux global} = 1,12 \times 0,84 \times 1,18 - 1
\]
\[
\text{Taux global} = 1,1088 - 1 = 0,1088 = 10,88\%
\]

Le taux d'évolution global entre 2012 et 2015 est donc de **10,88 %**.

---

### 2. En déduire le taux d'évolution annuel moyen entre 2012 et 2015.
Le taux d'évolution annuel moyen est donné par la formule suivante :

\[
\text{Taux moyen} = \left( \text{Taux global} + 1 \right)^{\frac{1}{n}} - 1
\]

Où \(n\) est le nombre d'années (ici \(n = 3\)).

\[
\text{Taux moyen} = (1 + 0,1088)^{\frac{1}{3}} - 1
\]
\[
\text{Taux moyen} = 1,1088^{\frac{1}{3}} - 1
\]

Calculons cette valeur.

\[
\text{Taux moyen} \approx 0,0350 = 3,50\%
\]

Le taux d'évolution annuel moyen est donc d'environ **3,50 %**.

---

### 3. Compléter le tableau avec les indices \( I_n/I_{2012} \).
Pour compléter le tableau, nous utilisons l'indice de base 100 en 2012. À chaque année, l'indice est multiplié par l'évolution de l'année.

- En 2012, l'indice est \(100\).
- En 2013, l'indice devient \(100 \times (1 + 0,12) = 112\).
- En 2014, l'indice devient \(112 \times (1 - 0,16) = 94,08\).
- En 2015, l'indice devient \(94,08 \times (1 + 0,18) = 111\).

Le tableau complété est donc :

| Année | Taux d'évolution par rapport à l'année précédente | Indice année n base 100 en 2012 |
|-------|---------------------------------------------------|---------------------------------|
| 2012  | -                                                 | 100                             |
| 2013  | +12%                                              | 112                             |
| 2014  | -16%                                              | 94,08                           |
| 2015  | +18%                                              | 111                             |

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### 4. La tonne de cette matière première valait 1450 € en 2015. Quel était son prix en 2012 ?
Nous avons un indice de 111 en 2015. Le prix en 2012 peut être calculé ainsi :

\[
\text{Prix 2012} = \frac{\text{Prix 2015}}{\text{Indice 2015}} \times 100
\]
\[
\text{Prix 2012} = \frac{1450}{111} \times 100 \approx 1306,31 \, €
\]

Le prix de la tonne en 2012 était donc d'environ **1306,31 €**.

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### 5. Calculer le taux d'évolution entre 2011 et 2012 sachant qu'en 2015 le coût de cette matière première est le même qu'en 2011.
Puisque le prix en 2015 est le même qu'en 2011, l'évolution entre 2011 et 2012 est le même que le taux d'évolution global entre 2012 et 2015, mais en sens inverse.

Ainsi, le taux d'évolution entre 2011 et 2012 est **-10,88 %**.

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### Questions supplémentaires :
1. Quel serait le prix en 2014 si le prix en 2012 était 1500 € ?
2. Quelle serait l'évolution globale si le taux en 2013 avait été de 10 % ?
3. Comment le prix aurait évolué si le taux en 2015 avait été de 20 % ?
4. Si l'indice en 2016 était de 120, quel serait le taux d'évolution en 2016 ?
5. Comment calculer un taux moyen annuel si la période est de 5 ans ?

**Tip :** Pour les indices, pensez toujours à multiplier le nouvel indice par l'évolution annuelle en pourcentage.

Le prix d'une tonne d'une matière première a subi des évolutions de prix entre 2012 et 2015. Calculer les taux d'évolution globaux, annuels moyens et compléter un tableau d'indices de prix.

Apprenez à calculer l'évolution des prix d'une matière première entre 2012 et 2015. Le problème inclut des calculs de taux global, taux moyen annuel, et indices des prix, avec un exemple concret de prix en euros.

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