3. Eval´ue el l´ımite. Sugerencia: Interprete la suma como una suma de Riemann para una funci´on en un cierto
intervalo
(a) l´ımn→∞
Xn
k=1
k
3
n4
(b) ⋆ l´ımn→∞
1
n
"r
1
n
+
r
2
n
+
r
3
n
+ · · · +
r
n
n
#
(c) l´ımn→∞
1
n
"
1
n
9
+

2
n
9
+

3
n
9
+ · · · +
n
n
9
#
(d) l´ımn→∞ 
1
√
n
√
n + 1
+
1
√
n
√
n + 2
+ · · ·
1
√
n
√
n + n

(e) l´ımn→∞
Xn
k=1
2
n

5 +
k
n
10
(f) ⋆ l´ımn→∞
Xn
k=1
π
4n
tan 
kπ
4n


Para resolver estos límites, se sugiere interpretar las sumas como sumas de Riemann que aproximan integrales definidas. Cada uno de los términos puede ser visto como una partición de un intervalo, y al tomar el límite cuando \( n \to \infty \), obtenemos una integral definida.

Vamos a resolver cada uno de los límites usando esta idea.

### (a) \[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^3}{n^4}
\]
La expresión puede ser escrita como una suma de Riemann si notamos que:
\[
\frac{k}{n} \quad \text{aproxima} \quad x \in [0, 1]
\]
y el diferencial \( dx \) es \(\frac{1}{n} \). Entonces, tenemos:
\[
\frac{k^3}{n^4} = \left(\frac{k}{n}\right)^3 \frac{1}{n}
\]
Por lo tanto, la suma se puede interpretar como una suma de Riemann para la función \( f(x) = x^3 \) en el intervalo \([0,1]\):
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^3 \frac{1}{n} = \int_0^1 x^3 \, dx
\]
Calculando la integral:
\[
\int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}
\]
Por lo tanto, el límite es:
\[
\boxed{\frac{1}{4}}
\]

### (b) \[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + \cdots + \sqrt{\frac{n}{n}} \right)
\]
Esta expresión también se puede interpretar como una suma de Riemann. Notamos que:
\[
\frac{k}{n} \quad \text{aproxima} \quad x \in [0, 1]
\]
y el diferencial \( dx \) es \( \frac{1}{n} \). Por lo tanto, tenemos:
\[
\frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{k}{n}} \right) = \frac{1}{n} \sqrt{x}
\]
Esto se puede interpretar como una suma de Riemann para la función \( f(x) = \sqrt{x} \) en el intervalo \([0, 1]\):
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} \, dx
\]
Calculando la integral:
\[
\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}
\]
Por lo tanto, el límite es:
\[
\boxed{\frac{2}{3}}
\]

### (c) \[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \left(\frac{1}{n}\right)^9 + \left(\frac{2}{n}\right)^9 + \cdots + \left(\frac{n}{n}\right)^9 \right)
\]
Este límite puede ser tratado de manera similar. Notamos que:
\[
\left( \frac{k}{n} \right)^9
\]
aproxima \( f(x) = x^9 \), con \( dx = \frac{1}{n} \). Entonces, la suma se interpreta como la suma de Riemann para \( f(x) = x^9 \) en \([0, 1]\):
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left( \frac{k}{n} \right)^9 = \int_0^1 x^9 \, dx
\]
Calculando la integral:
\[
\int_0^1 x^9 \, dx = \left[ \frac{x^{10}}{10} \right]_0^1 = \frac{1}{10}
\]
Por lo tanto, el límite es:
\[
\boxed{\frac{1}{10}}
\]

### (d) \[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n + k}}
\]
Aquí, podemos aproximar para \( n \to \infty \) que:
\[
\frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+k}} \approx \frac{1}{n}
\]
ya que \( \sqrt{n+k} \approx \sqrt{n} \) cuando \( k \) es mucho menor que \( n \). Por lo tanto, el límite puede ser aproximado como:
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1
\]
Este límite converge a:
\[
\boxed{1}
\]

### (e) \[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2}{n} \left( 5 + \frac{k}{n} \right)^{10}
\]
Esta expresión se puede interpretar como una suma de Riemann para la función \( f(x) = (5 + x)^{10} \) en el intervalo \([0, 1]\), con \( dx = \frac{2}{n} \). Entonces:
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2}{n} \left( 5 + \frac{k}{n} \right)^{10} = 2 \int_0^1 (5 + x)^{10} \, dx
\]
Calculando la integral:
\[
2 \int_0^1 (5 + x)^{10} \, dx = 2 \cdot \frac{(5+x)^{11}}{11} \Bigg|_0^1 = 2 \cdot \frac{(6)^{11} - (5)^{11}}{11}
\]
Este cálculo da el valor final.

### (f) \[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{4n} \tan\left( \frac{k\pi}{4n} \right)
\]
La función que se está aproximando es \( f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4} x \right) \), y la suma se puede interpretar como una suma de Riemann para esta función en el intervalo \([0, 1]\):
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{4n} \tan\left( \frac{k\pi}{4n} \right) = \frac{\pi}{4} \int_0^1 \tan\left( \frac{\pi}{4} x \right) \, dx
\]
Calculando esta integral:
\[
\frac{\pi}{4} \int_0^1 \tan\left( \frac{\pi}{4} x \right) \, dx = \frac{\pi}{4} \left[ \ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} x\right)\right) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} \ln(2)
\]
Por lo tanto, el límite es:
\[
\boxed{\frac{\pi}{4} \ln(2)}
\]

---

¿Te gustaría más detalles de algún paso o tienes alguna pregunta específica?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se interpretan las sumas de Riemann en términos de integrales?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de una suma de Riemann?
3. ¿Cómo calcular integrales de potencias de \( x \)?
4. ¿Qué otras funciones comunes aparecen en sumas de Riemann?
5. ¿Cómo se simplifican límites de sumas infinitas?

**Tip:** Al reconocer una suma como una suma de Riemann, siempre intenta identificar la función subyacente y el intervalo de integración para resolver el límite correctamente.

Evalúe el límite. Sugerencia: Interprete la suma como una suma de Riemann para una función en un cierto intervalo (a) lim n→∞ Σn k=1 (k^3/n^4) (b) lim n→∞ (1/n)(√(1/n) + √(2/n) + ... + √(n/n)) (c) lim n→∞ (1/n)((1/n)^9 + (2/n)^9 + ... + (n/n)^9) (d) lim n→∞ Σn k=1 (1/√n√(n+k)) (e) lim n→∞ Σn k=1 (2/n)(5 + k/n)^10 (f) lim n→∞ Σn k=1 (π/4n)tan(kπ/4n)

Learn how to evaluate complex limits using Riemann sums that approximate definite integrals. This detailed step-by-step guide covers limits, integration, and the Fundamental Theorem of Calculus, suitable for university-level calculus students.

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