Gracias por la corrección. Vamos a ajustar la solución considerando que el término en la raíz es \(32nk - 16k^2\) en lugar de \(82nk - 16k^2\).

### Expresión Actualizada

El problema ahora se plantea como:

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{32n k - 16k^2}}{n^2}
\]

### Paso 1: Expresar la suma como una suma de Riemann

De nuevo, expresamos el sumando en términos de \( k \) y \( n \). En este caso, la función dentro de la raíz es:

\[
\sqrt{32nk - 16k^2}
\]

Sustituyendo \( k = \frac{n}{2} x \) y \( \frac{k}{n} = \frac{x}{2} \), obtenemos:

\[
\sqrt{32n \left(\frac{n}{2}x\right) - 16\left(\frac{n}{2}x\right)^2} = \sqrt{16n^2 x - 4n^2 x^2}
\]

Por lo tanto, la suma se convierte en:

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{n^2(16x - 4x^2)}}{n^2} \cdot \frac{2}{n}
\]

Simplificando:

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{16x - 4x^2}}{n} \cdot \frac{2}{n} = \int_0^2 \sqrt{16x - 4x^2} \, dx
\]

### Expresión Final
Por lo tanto, el límite de la suma es equivalente a la integral definida:

\[
\int_0^2 \sqrt{16x - 4x^2} \, dx
\]

¿Te gustaría ver cómo se evalúa esta integral en detalle o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el coeficiente dentro de la raíz al resultado de la integral?
2. ¿Cómo se puede simplificar la raíz cuadrada de una expresión cuadrática antes de integrar?
3. ¿Qué métodos existen para evaluar integrales de funciones cuadráticas?
4. ¿Cómo se relaciona la integral definida con el área bajo la curva de una función?
5. ¿Cómo afectaría el cambiar los límites de integración al resultado final?

**Consejo:** Asegúrate de simplificar la función dentro de la raíz antes de integrar, ya que esto puede facilitar el cálculo de la integral.

Explore how to calculate the limit of a Riemann sum involving a square root expression. This problem delves into integral calculus, specifically evaluating limits using Riemann sums and converting them into definite integrals. Suitable for college-level students and anyone interested in advanced calculus problems.

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