Evaluar la integral de 0 a pi/2 (3sen ui+2 cos uj) du paso a paso 

Para evaluar la integral vectorial de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(3 \sin(u) \mathbf{i} + 2 \cos(u) \mathbf{j}\right) du \) paso a paso, seguimos estos pasos:

### 1. Separación de componentes
La integral vectorial se puede separar en dos integrales escalares, una para cada componente del vector:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin(u) \mathbf{i} \, du + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos(u) \mathbf{j} \, du
\]

### 2. Evaluar la integral de la componente \( \mathbf{i} \)
La integral de la componente \( \mathbf{i} \) es:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin(u) \, du
\]

Para resolver esta integral:
\[
\int 3 \sin(u) \, du = -3 \cos(u) + C
\]

Ahora, evaluamos esta expresión entre los límites \( u = 0 \) y \( u = \frac{\pi}{2} \):
\[
\left[-3 \cos(u)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3 \cos(0) = -3(0) + 3(1) = 3
\]

### 3. Evaluar la integral de la componente \( \mathbf{j} \)
La integral de la componente \( \mathbf{j} \) es:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos(u) \, du
\]

Para resolver esta integral:
\[
\int 2 \cos(u) \, du = 2 \sin(u) + C
\]

Ahora, evaluamos esta expresión entre los límites \( u = 0 \) y \( u = \frac{\pi}{2} \):
\[
\left[2 \sin(u)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2 \sin(0) = 2(1) - 2(0) = 2
\]

### 4. Resultado final
La integral vectorial es la suma de las dos componentes:
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(3 \sin(u) \mathbf{i} + 2 \cos(u) \mathbf{j}\right) du = 3 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}
\]

Así que el resultado final es:
\[
\mathbf{R} = 3 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}
\]

¿Te gustaría obtener más detalles sobre alguno de estos pasos? 

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se evalúa una integral indefinida de funciones trigonométricas?
2. ¿Qué sucede si se cambia el intervalo de integración en este tipo de problemas?
3. ¿Cómo se maneja la integral vectorial en el espacio tridimensional?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de una integral vectorial?
5. ¿Cómo se relaciona este problema con la física, específicamente en el cálculo de trabajo?

**Tip:** Cuando trabajes con integrales vectoriales, es útil tratar cada componente por separado antes de combinar los resultados para formar el vector final.

Learn how to evaluate the vector integral from 0 to pi/2 of (3 sin(u) i + 2 cos(u) j) step by step. This problem involves vector calculus and trigonometric integrals, covering the integral of sine and cosine functions.

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