Pour encadrer \( x \cdot \sin(x) \) sur l'intervalle \(-3 < x < 1\), nous allons examiner les bornes minimales et maximales de la fonction sur cet intervalle.

### 1. Compréhension de la fonction :
La fonction \( x \cdot \sin(x) \) combine les fonctions \( x \) et \( \sin(x) \), avec :
- \( \sin(x) \) qui est bornée entre -1 et 1 pour tout \( x \),
- \( x \) variant dans l'intervalle \(-3 < x < 1\).

### 2. Calcul des valeurs extrêmes aux bornes de l'intervalle :
Aux bornes de l'intervalle \(-3 < x < 1\), nous avons les points \( x = -3 \) et \( x = 1 \) à vérifier, mais également l'évolution de la fonction dans cet intervalle.

#### Pour \( x = -3 \) :
\( \sin(-3) \approx -0.141 \), donc :
\[ x \cdot \sin(x) = -3 \cdot (-0.141) \approx 0.423. \]

#### Pour \( x = 1 \) :
\( \sin(1) \approx 0.841 \), donc :
\[ x \cdot \sin(x) = 1 \cdot 0.841 \approx 0.841. \]

### 3. Étude qualitative de la fonction :
- Pour \( x \in (-3, 0) \), \( x \) est négatif et \( \sin(x) \) oscille entre -1 et 1. Le produit \( x \cdot \sin(x) \) sera donc principalement négatif.
- Pour \( x \in (0, 1) \), \( x \) est positif et \( \sin(x) \) est également positif, donc \( x \cdot \sin(x) \) sera positif.

### 4. Conclusion :
En considérant l'évolution de \( x \cdot \sin(x) \) sur l'intervalle \(-3 < x < 1\), les valeurs de la fonction oscillent autour de valeurs négatives pour \( x < 0 \) et deviennent positives pour \( x > 0 \).

Nous obtenons l'encadrement suivant :
\[
-3 \leq x \cdot \sin(x) \leq 0.841
\]
pour \( -3 < x < 1 \).

---

Est-ce que tu souhaites des détails supplémentaires ou des explications sur une partie particulière ? Voici 5 questions supplémentaires :

1. Comment se comporte la fonction \( x \cdot \sin(x) \) aux points critiques dans cet intervalle ?
2. Peux-tu calculer la dérivée de la fonction \( x \cdot \sin(x) \) pour déterminer ses extremums ?
3. Quelle est l'influence des oscillations de \( \sin(x) \) sur l'encadrement global de \( x \cdot \sin(x) \) ?
4. Quelle est la valeur moyenne de la fonction \( x \cdot \sin(x) \) sur l'intervalle donné ?
5. Comment utiliser l'encadrement de la fonction pour résoudre une inéquation ?

**Tip** : Pour mieux comprendre le comportement de la fonction \( x \cdot \sin(x) \), tu peux esquis

Découvrez comment encadrer la fonction x·sin(x) sur l'intervalle -3 < x < 1. Cette solution explore les concepts trigonométriques et analyse le comportement de la fonction pour déterminer ses bornes. Convient aux élèves de niveaux 10 à 12.

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