ejercicios desarrollados teoremas del circulo

Los teoremas del círculo son fundamentales en la geometría, y pueden aplicarse en una variedad de problemas. A continuación, te presento algunos ejercicios desarrollados que involucran diferentes teoremas del círculo:

### Ejercicio 1: Teorema del ángulo inscrito
**Problema:** Dado un círculo con centro \( O \) y un ángulo inscrito \( \angle ABC \) que intercepta un arco \( AC \). Si la medida del arco \( AC \) es de \( 120^\circ \), ¿cuál es la medida del ángulo \( \angle ABC \)?

**Solución:**
Según el teorema del ángulo inscrito, la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta.
\[
\angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{Medida del arco } AC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
\]
**Respuesta:** La medida del ángulo \( \angle ABC \) es \( 60^\circ \).

### Ejercicio 2: Teorema del ángulo central y arco
**Problema:** En un círculo de radio \( 5 \) cm, un ángulo central \( \angle AOB \) mide \( 90^\circ \). ¿Cuál es la longitud del arco \( AB \)?

**Solución:**
La longitud del arco se calcula con la fórmula:
\[
\text{Longitud del arco} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
donde \( \theta = 90^\circ \) y \( r = 5 \) cm.
\[
\text{Longitud del arco} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5 \text{ cm} = \frac{1}{4} \times 10\pi \text{ cm} = 2.5\pi \text{ cm}
\]
**Respuesta:** La longitud del arco \( AB \) es \( 2.5\pi \) cm.

### Ejercicio 3: Teorema de las tangentes
**Problema:** Desde un punto exterior \( P \) a un círculo, se trazan dos tangentes \( PA \) y \( PB \) que tocan el círculo en los puntos \( A \) y \( B \), respectivamente. Si la distancia desde \( P \) hasta \( A \) es \( 8 \) cm, ¿cuál es la distancia desde \( P \) hasta \( B \)?

**Solución:**
Según el teorema de las tangentes, las tangentes trazadas desde un punto exterior a un círculo son iguales en longitud.
\[
PA = PB
\]
Por lo tanto, la distancia desde \( P \) hasta \( B \) también es \( 8 \) cm.

**Respuesta:** La distancia desde \( P \) hasta \( B \) es \( 8 \) cm.

### Ejercicio 4: Teorema de la potencia de un punto
**Problema:** Desde un punto \( P \) exterior a un círculo, se traza una secante que corta al círculo en los puntos \( A \) y \( B \), y una tangente que toca el círculo en el punto \( T \). Si \( PA = 10 \) cm, \( PB = 15 \) cm, y \( PT = x \) cm, encuentra el valor de \( x \).

**Solución:**
El teorema de la potencia de un punto establece que:
\[
PA \times PB = PT^2
\]
Sustituyendo los valores dados:
\[
10 \times 15 = x^2
\]
\[
150 = x^2
\]
\[
x = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \text{ cm}
\]
**Respuesta:** \( x = 5\sqrt{6} \) cm.

### Ejercicio 5: Teorema del ángulo formado por dos cuerdas
**Problema:** En un círculo, dos cuerdas se cruzan en un punto \( P \). Si los ángulos subtendidos por las cuerdas son \( \angle AOB = 110^\circ \) y \( \angle COD = 50^\circ \), ¿cuál es la medida del ángulo \( \angle APB \)?

**Solución:**
El teorema del ángulo formado por dos cuerdas establece que el ángulo \( \angle APB \) es la mitad de la suma de los ángulos subtendidos por los arcos opuestos.
\[
\angle APB = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle COD)
\]
\[
\angle APB = \frac{1}{2} (110^\circ + 50^\circ) = \frac{1}{2} \times 160^\circ = 80^\circ
\]
**Respuesta:** La medida del ángulo \( \angle APB \) es \( 80^\circ \).

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¿Quieres más detalles sobre algún ejercicio o tienes alguna pregunta específica? Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el teorema del ángulo inscrito en círculos excéntricos?
2. ¿Qué sucede si el ángulo central es un ángulo obtuso?
3. ¿Cómo se utiliza el teorema de la potencia de un punto en círculos concéntricos?
4. ¿Qué aplicaciones tiene el teorema de las tangentes en la construcción?
5. ¿Cómo se puede comprobar experimentalmente el teorema del ángulo formado por dos cuerdas?

**Tip:** Cuando trabajes con teoremas del círculo, dibuja siempre un diagrama claro, esto te ayudará a visualizar mejor el problema y evitar errores en la solución.

Explora ejercicios resueltos que aplican los teoremas fundamentales del círculo en geometría. Incluye problemas sobre el teorema del ángulo inscrito, ángulo central y arco, tangentes, potencia de un punto, y ángulo formado por dos cuerdas. Adecuado para estudiantes de secundaria y bachillerato.

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