Para encontrar el dominio y el rango de la ecuación \( 5xy + 3y - 7x = 12 \), primero despejamos una de las variables en función de la otra. Este proceso nos dará una mejor idea de cómo se comporta la relación entre \(x\) y \(y\).

### Paso 1: Despejar \(y\) en términos de \(x\)
Reescribimos la ecuación para despejar \(y\):

\[
5xy + 3y = 7x + 12
\]

Factorizamos \(y\) en el lado izquierdo:

\[
y(5x + 3) = 7x + 12
\]

Ahora despejamos \(y\):

\[
y = \frac{7x + 12}{5x + 3}
\]

### Dominio
El dominio se refiere a los valores de \(x\) para los cuales la función está definida. Para que la función \( y = \frac{7x + 12}{5x + 3} \) esté definida, el denominador no debe ser igual a cero.

\[
5x + 3 \neq 0
\]

Resolviendo esta ecuación:

\[
x \neq -\frac{3}{5}
\]

Por lo tanto, el **dominio** de la función es:

\[
\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{5} \right\}
\]

Es decir, el dominio incluye todos los números reales excepto \(x = -\frac{3}{5}\).

### Rango
Para hallar el rango, analizamos la expresión de \(y = \frac{7x + 12}{5x + 3}\). El valor de \(y\) puede tomar cualquier valor real excepto el que hace que el numerador sea cero cuando el denominador es cero (esto evitaría la indeterminación).

Sin embargo, dado que esta es una función racional con polinomios de grado 1 en el numerador y el denominador, su rango tiende a cubrir todos los valores reales excepto un valor específico que podría estar excluido si la función tiene una asíntota horizontal. 

La **asíntota horizontal** se determina observando los coeficientes principales (es decir, los términos de mayor grado). Para esta función, la asíntota horizontal es:

\[
y = \frac{7}{5}
\]

Por lo tanto, el **rango** de la función es:

\[
\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{7}{5} \right\}
\]

### Conclusión
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{5} \right\} \)
- **Rango**: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{7}{5} \right\} \)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar más:
1. ¿Cómo se determinan las asíntotas en funciones racionales?
2. ¿Cómo se grafica una función racional como esta?
3. ¿Qué sucede cuando \(x = -\frac{3}{5}\)?
4. ¿Cómo afecta el grado de los polinomios en el numerador y denominador al comportamiento de la función?
5. ¿Cómo cambiaría el rango si el numerador fuera de grado diferente?

**Tip:** Siempre revisa si el denominador de una función es cero para identificar valores que excluyen del dominio.

Explore how to find the domain and range of the equation 5xy + 3y - 7x = 12. This solution covers algebraic techniques for solving rational functions, identifying asymptotes, and determining domain restrictions. Suitable for students in Grades 10-12.

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