Para encontrar a primitiva da função \(2(x-2)^2\), podemos seguir dois métodos: a integração direta expandindo o polinômio ou usando uma substituição. Vamos fazer pela substituição, que é mais direta neste caso.

### Passos para resolver:

1. **Substituição:**
   Definimos \(u = x - 2\), logo \(du = dx\). Isso simplifica nossa integral.

   A função original fica:
   \[
   \int 2(x-2)^2 \, dx = \int 2u^2 \, du
   \]

2. **Integração:**
   Agora, integramos \(2u^2\):
   \[
   \int 2u^2 \, du = 2 \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{2}{3}u^3
   \]

3. **Voltar à variável original:**
   Como \(u = x - 2\), substituímos de volta:
   \[
   \frac{2}{3}u^3 = \frac{2}{3}(x-2)^3
   \]

4. **Adicionar a constante de integração:**
   \[
   \int 2(x-2)^2 \, dx = \frac{2}{3}(x-2)^3 + C
   \]

Assim, a primitiva de \(2(x-2)^2\) é:

\[
\frac{2}{3}(x-2)^3 + C
\]

Caso tenha mais dúvidas ou queira detalhes, estou à disposição! Aqui estão algumas perguntas para aprofundar o conteúdo:

1. Como se escolhe uma substituição adequada para resolver integrais?
2. Quando é melhor expandir um polinômio antes de integrar?
3. Como a mudança de variável afeta os limites de integração em integrais definidas?
4. Quais outros métodos além de substituição podem ser usados para integrais complexas?
5. O que acontece se \(u\) for uma função mais complexa de \(x\)?

**Dica:** Quando fizer substituições, lembre-se sempre de voltar à variável original antes de dar a resposta final.

Discover how to find the primitive of 2(x-2)^2 through integration. This problem involves the substitution method in integral calculus, exploring polynomial integration techniques. Suitable for advanced high school or college students.

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