次の和 Sn を求めよ。
(1) Sn =
1
1 · 5
+
1
5 · 9
+
1
9 · 13
+ · · · +
1
(4n − 3)(4n + 1)
(2) Sn =
2
1 · 3
+
2
2 · 4
+
2
3 · 5
+ · · · +
2
n(n + 2)
(3) Sn =
3
1
2
+
5
1
2 + 22
+
7
1
2 + 22 + 32
+ · · · +
2n + 1
1
2 + 22 + 32 + · · · + n

### 問題 (1) \( S_n = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} \)

この問題は部分分数分解を用いて解くことができます。

1. **部分分数分解**  
   一般項 \(\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}\) を部分分数分解します。
   \[
   \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1}
   \]
   両辺に \((4k-3)(4k+1)\) をかけて整理すると、
   \[
   1 = A(4k+1) + B(4k-3)
   \]
   これを展開すると、
   \[
   1 = (4A + 4B)k + (A - 3B)
   \]
   係数比較により、次の連立方程式が得られます。
   \[
   4A + 4B = 0, \quad A - 3B = 1
   \]
   これを解くと、\( A = \frac{3}{16}, B = \frac{1}{16} \) です。

   よって、次のように分解できます。
   \[
   \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{3/16}{4k-3} + \frac{1/16}{4k+1}
   \]

2. **和の計算**  
   この分解を使って和を計算すると、
   \[
   S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{3/16}{4k-3} + \frac{1/16}{4k+1}\right)
   \]
   これは望ましい形で簡約できるか確認します。望ましい形は望まれる和の簡略化のためには必要な量の減少が起こる項があるかどうかです。この和は、いくつかの項が相殺されて短くなるので、その特性を使って簡略化できます。

   しかしこの場合、望ましい減少が起こらないため、無限和までいくつかの項が計算できれば一般的に得られる形として最終結果にたどり着けるでしょう。

### 問題 (2) \( S_n = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{2}{n(n+2)} \)

この問題も部分分数分解を使って解けます。

1. **部分分数分解**  
   一般項 \(\frac{2}{k(k+2)}\) を部分分数分解します。
   \[
   \frac{2}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}
   \]
   両辺に \(k(k+2)\) をかけて整理すると、
   \[
   2 = A(k+2) + Bk
   \]
   これを展開すると、
   \[
   2 = (A+B)k + 2A
   \]
   係数比較により、次の連立方程式が得られます。
   \[
   A + B = 0, \quad 2A = 2
   \]
   これを解くと、\( A = 1, B = -1 \) です。

   よって、次のように分解できます。
   \[
   \frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}
   \]

2. **和の計算**  
   この分解を使って和を計算すると、
   \[
   S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)
   \]
   この和は、望ましい形で簡約されます。望ましい形は、
   \[
   S_n = 1 + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right)
   \]
   です。

### 問題 (3) \( S_n = \frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \cdots + \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2} \)

この問題では、まず和の式を使って計算する方法を見つけ出します。

1. **和の公式の利用**  
   \(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2\) の和は次の公式で表されます。
   \[
   \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
   \]
   
2. **一般項の計算**  
   各項にこの公式を代入し、一般項を簡略化します。
   \[
   S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}} 
   \]
   最終的な結果を得るために項ごとに計算を続けます。

---

質問があれば教えてください。

次の問題に挑戦してみてください:
1. 和 \( S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n \) を公式を使って計算してください。
2. 部分分数分解の意味とその利用法について説明してください。
3. 無限和 \( S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \) を計算してみてください。
4. 和を使った近似計算の方法を説明してください。
5. 二次式の微分を用いた和の評価方法を考えてみてください。

**Tip:** 部分分数分解は和を簡単に計算するための有効な方法です。解き方の基本的なルールを覚えておくと便利です。

Learn how to solve complex summation problems using partial fractions decomposition. This detailed explanation covers multiple types of series involving partial fractions, suitable for undergraduate-level mathematics.

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