Encuentre la ecuación de la recta tangente a la  curva siguientes en el punto dado. y=√x, (1,1)

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva \( y = \sqrt{x} \) en el punto dado \( (1, 1) \), seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Encontrar la derivada de la función
La derivada de \( y = \sqrt{x} \) nos da la pendiente de la tangente en cualquier punto de la curva. Recordemos que \( \sqrt{x} \) puede reescribirse como \( x^{1/2} \).

Derivemos:

\[
y' = \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

### Paso 2: Evaluar la derivada en \( x = 1 \)
Para obtener la pendiente de la tangente en el punto \( (1, 1) \), evaluamos la derivada en \( x = 1 \):

\[
m = y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}
\]

Así que la pendiente de la tangente en el punto \( (1, 1) \) es \( m = \frac{1}{2} \).

### Paso 3: Usar la fórmula de la recta tangente
La ecuación de la recta tangente tiene la forma general:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Donde \( m \) es la pendiente y \( (x_1, y_1) \) es el punto dado. Sustituyendo \( m = \frac{1}{2} \), \( x_1 = 1 \) y \( y_1 = 1 \):

\[
y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)
\]

### Paso 4: Simplificar la ecuación
Simplificamos la ecuación para obtener la forma final:

\[
y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
\]

\[
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\]

### Resultado final:
La ecuación de la recta tangente a la curva \( y = \sqrt{x} \) en el punto \( (1, 1) \) es:

\[
y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\]

¿Te gustaría ver más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra la derivada de una función radical en otros ejemplos?
2. ¿Cómo se obtiene la ecuación de la tangente si se tiene un punto y la pendiente?
3. ¿Cómo afectan las propiedades de una función cuadrática o radical a su gráfica?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la pendiente en un gráfico?
5. ¿Cuál es la diferencia entre la recta tangente y la secante?

**Tip:** En problemas de tangentes, la derivada siempre proporciona la pendiente en un punto específico.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva siguientes en el punto dado. y=√x, (1,1)

Learn how to find the equation of the tangent line to the curve y = √x at the point (1,1). This problem involves key calculus concepts such as derivatives and tangents, with step-by-step guidance suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation