determine tgx sabendo que x é maior ou igual a 3pi sobre 2 e menor ou igual a 2pi e senx igual a -5 sobre 13 avos

Para determinar \(\tan(x)\) sabendo que \(x\) está no intervalo \(\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) e \(\sin(x) = -\frac{5}{13}\), podemos seguir os seguintes passos:

### Passo 1: Identificar o quadrante
O intervalo \(\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]\) corresponde ao quarto quadrante no círculo trigonométrico. Neste quadrante, o seno é negativo (o que coincide com a informação dada) e o cosseno é positivo.

### Passo 2: Determinar o cosseno
Sabemos que \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Portanto, podemos calcular o valor de \(\cos(x)\).

\[
\sin(x) = -\frac{5}{13}
\]
\[
\sin^2(x) = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}
\]
\[
\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
\]
\[
\cos(x) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}
\]

Como \(x\) está no quarto quadrante, onde o cosseno é positivo, temos \(\cos(x) = \frac{12}{13}\).

### Passo 3: Calcular \(\tan(x)\)
A tangente é dada por:

\[
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}
\]

Portanto, \(\tan(x) = -\frac{5}{12}\).

### Resposta:
\(\tan(x) = -\frac{5}{12}\).

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

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5. Como resolver uma equação trigonométrica envolvendo tangente?

**Dica:** Lembre-se que as funções trigonométricas têm sinais específicos dependendo do quadrante em que o ângulo se encontra. Isso é crucial para determinar corretamente os valores de seno, cosseno e tangente.

Learn how to determine \( \tan(x) \) for an angle \( x \) in the interval \( \left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right] \) given that \( \sin(x) = -\frac{5}{13} \). This problem involves trigonometric concepts such as sine, cosine, and tangent in specific quadrants.

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