A figura ao lado mostra um fio que passa por
duas polias ideais e que é tensionado por dois
blocos de massa M = 6,00 kg que estão presos
às suas extremidades. O trecho horizontal do
fio tem comprimento L = 0,90 m e o conjunto
está em equilíbrio estático. O diâmetro do fio é
0,40 mm e a densidade do aço é 8 000 kg/m3
.
Determine:
(a) A densidade linear de massa do fio, em g/m.
(b) A menor frequência, em Hz, da onda estacionária transversal que o trecho horizontal do
fio pode apresentar.

Vamos resolver as duas partes do problema.

### Parte (a) - Densidade Linear de Massa do Fio

A densidade linear de massa \(\mu\) do fio é a massa por unidade de comprimento do fio. Para calcular \(\mu\), precisamos primeiro determinar a massa de um segmento do fio de comprimento \(L\).

A massa \(m_{\text{fio}}\) de um segmento do fio pode ser encontrada usando a densidade volumétrica \(\rho\) e o volume \(V\) do fio:
\[
m_{\text{fio}} = \rho \cdot V
\]

O volume de um segmento do fio é dado por:
\[
V = A \cdot L
\]
onde \(A\) é a área da seção transversal do fio e \(L\) é o comprimento do segmento.

A área da seção transversal \(A\) de um fio cilíndrico é:
\[
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}
\]
onde \(d\) é o diâmetro do fio.

Substituindo \(A\) em \(V\):
\[
V = \frac{\pi d^2}{4} \cdot L
\]

Então, a massa do segmento é:
\[
m_{\text{fio}} = \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot L
\]

A densidade linear de massa \(\mu\) é:
\[
\mu = \frac{m_{\text{fio}}}{L} = \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4}
\]

Substituindo os valores:
\[
\mu = 8{,}000 \, \text{kg/m}^3 \times \frac{\pi \times (0{,}40 \times 10^{-3} \, \text{m})^2}{4}
\]
\[
\mu = 8{,}000 \, \text{kg/m}^3 \times \frac{\pi \times 0{,}16 \times 10^{-6} \, \text{m}^2}{4}
\]
\[
\mu = 8{,}000 \, \text{kg/m}^3 \times \frac{0{,}16\pi \times 10^{-6} \, \text{m}^2}{4}
\]
\[
\mu = 8{,}000 \times 0{,}1257 \times 10^{-6} \, \text{kg/m}
\]
\[
\mu \approx 1{,}0056 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}
\]
\[
\mu \approx 1{,}0056 \, \text{g/m}
\]

Portanto, a densidade linear de massa do fio é **1,0056 g/m**.

### Parte (b) - Menor Frequência da Onda Estacionária Transversal

A menor frequência de uma onda estacionária transversal no fio ocorre no modo fundamental. A frequência fundamental \(f_1\) de uma corda tensionada é dada por:
\[
f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
onde \(T\) é a tensão no fio, \(L\) é o comprimento do fio e \(\mu\) é a densidade linear de massa.

A tensão \(T\) no fio é igual ao peso dos blocos, que é:
\[
T = Mg
\]
onde \(M\) é a massa de um bloco e \(g\) é a aceleração da gravidade (\(g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2\)).

Substituindo \(T\) na equação da frequência:
\[
f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}
\]

Substituindo os valores:
\[
f_1 = \frac{1}{2 \times 0{,}90 \, \text{m}} \sqrt{\frac{6{,}00 \, \text{kg} \times 9{,}8 \, \text{m/s}^2}{1{,}0056 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}}}
\]
\[
f_1 = \frac{1}{1{,}8 \, \text{m}} \sqrt{\frac{58{,}8 \, \text{N}}{1{,}0056 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}}}
\]
\[
f_1 = \frac{1}{1{,}8 \, \text{m}} \sqrt{58478{,}7 \, \text{m}^2/\text{s}^2}
\]
\[
f_1 = \frac{1}{1{,}8} \times 241{,}7 \, \text{Hz}
\]
\[
f_1 \approx 134{,}3 \, \text{Hz}
\]

Portanto, a menor frequência da onda estacionária transversal que o fio pode apresentar é **134,3 Hz**.

Tem mais alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como a densidade linear de massa afeta a frequência da onda no fio?
2. O que acontece com a frequência da onda se a tensão no fio aumentar?
3. Como a espessura do fio influencia a densidade linear de massa?
4. O que muda na frequência da onda se o comprimento \(L\) do fio for alterado?
5. Como a densidade do material do fio afeta a densidade linear de massa?
6. Qual seria a frequência fundamental para um fio de outro material, como o cobre?
7. Como seriam os cálculos se o fio fosse feito de outro material com uma densidade diferente?
8. O que acontece se os blocos de massa \(M\) forem diferentes?

**Dica:** A frequência fundamental de uma corda tensionada depende do comprimento, da tensão e da densidade linear de massa. Para aumentar a frequência, você pode aumentar a tensão ou reduzir a densidade linear de massa.

Explore the calculation of linear mass density and the lowest frequency of transverse standing waves in a tensioned wire. This problem involves determining the mass density per unit length of a wire and the fundamental frequency of its transverse waves. Solve step-by-step with detailed formulas and computations.

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