列：质量为m、长为l的均匀绳索索在光滑的水平面
上以匀角速度ω绕其一端0匀速旋转，在其自由端系
有一质量为M的小球，求绳中各点的张力。

我们需要求出质量为 \( m \)、长度为 \( l \) 的均匀绳索在光滑的水平面上以匀角速度 \( \omega \) 绕其一端 \( O \) 匀速旋转，并且在绳索自由端系有质量为 \( M \) 的小球时，绳中各点的张力。

### 1. 分析绳索上的受力情况

绳索的各点由于绕点 \( O \) 做圆周运动，因此绳中会有离心力产生，绳索会受到张力作用。为了计算绳中任意位置 \( r \) （距离 \( O \) 为 \( r \) 的点）的张力 \( T(r) \)，我们从牛顿第二定律出发，考虑受力平衡和角速度关系。

### 2. 受力分析

考虑绳索上的一个微元 \( dr \)，其质量可以表示为：
\[
dm = \frac{m}{l} dr
\]
由于该微元距离中心点 \( O \) 的距离为 \( r \)，它的角速度为 \( \omega \)，因此该微元的向心力为：
\[
dF = dm \cdot r \omega^2 = \frac{m}{l} dr \cdot r \omega^2
\]

现在我们从自由端的小球开始考虑，设 \( r \) 位置的绳索受到的张力为 \( T(r) \)，则在自由端的小球处（即 \( r = l \) ），张力 \( T(l) \) 需要提供小球的向心力：
\[
T(l) = M l \omega^2
\]
接着，对于任意位置 \( r \) 的绳索微段，从 \( r \) 到 \( l \) 的所有微段都会产生离心力，因此对于任意 \( r \) 处的张力 \( T(r) \)，其需要平衡从 \( r \) 到 \( l \) 的微元质量产生的向心力和小球的向心力。

### 3. 张力的积分表达

对于任意 \( r \) 处的绳索张力，需要平衡以下两部分的力：
1. 从位置 \( r \) 到 \( l \) 的绳索微元质量产生的向心力；
2. 小球质量 \( M \) 产生的向心力。

因此，张力 \( T(r) \) 为：
\[
T(r) = \int_r^l \frac{m}{l} r' \omega^2 dr' + M l \omega^2
\]
将其积分求解：
\[
T(r) = \frac{m}{l} \omega^2 \left( \frac{l^2 - r^2}{2} \right) + M l \omega^2
\]

### 4. 最终结果

因此，绳索上任意位置 \( r \) 处的张力 \( T(r) \) 可以表示为：
\[
T(r) = \frac{m}{2l} \omega^2 (l^2 - r^2) + M l \omega^2
\]
这就是绳索中任意位置 \( r \) 处的张力表达式。

### 5. 边界条件

- 当 \( r = 0 \) 时，张力达到最大值：
  \[
  T(0) = \frac{m}{2l} \omega^2 l^2 + M l \omega^2 = \frac{m \omega^2 l^2}{2} + M l \omega^2
  \]
- 当 \( r = l \) 时，张力为小球的向心力：
  \[
  T(l) = M l \omega^2
  \]

---

### 相关问题

1. 绳索的质量 \( m \) 增大会对张力有何影响？
2. 小球质量 \( M \) 对绳索张力的分布有何作用？
3. 如果绳索不是匀速旋转，如何修正该解？
4. 若角速度 \( \omega \) 增加，绳索中张力分布会发生怎样的变化？
5. 在非光滑的水平面上，摩擦力如何影响绳索的运动和张力分布？

### 提示
对于旋转物体，张力分布与其离心力密切相关，而离心力又与角速度和半径成正比。

列：质量为m、长为l的均匀绳索在光滑的水平面上以匀角速度ω绕其一端O匀速旋转，在其自由端系有一质量为M的小球，求绳中各点的张力。

This detailed solution explains how to calculate the tension in a uniform string of mass m and length l, rotating with constant angular velocity ω. The string is attached to a mass M at its free end, and the tension at any point r is derived using Newton's second law and principles of centripetal force. Suitable for university-level physics students.

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