derivada por definición de:
19x^2 -19x-19

La derivada por definición de una función \( f(x) \) está dada por el límite:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

Ahora, tenemos la función \( f(x) = 19x^2 - 19x - 19 \).

### Paso 1: Encontrar \( f(x+h) \)
Sustituimos \( x+h \) en la función original:

\[
f(x+h) = 19(x+h)^2 - 19(x+h) - 19
\]

Expandiendo cada término:

\[
f(x+h) = 19(x^2 + 2xh + h^2) - 19(x + h) - 19
\]
\[
f(x+h) = 19x^2 + 38xh + 19h^2 - 19x - 19h - 19
\]

### Paso 2: Aplicar la fórmula de la derivada
Ahora sustituimos \( f(x+h) \) y \( f(x) \) en la definición de la derivada:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[19x^2 + 38xh + 19h^2 - 19x - 19h - 19] - [19x^2 - 19x - 19]}{h}
\]

Simplificamos el numerador:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{19x^2 + 38xh + 19h^2 - 19x - 19h - 19 - 19x^2 + 19x + 19}{h}
\]

Cancelamos términos comunes:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{38xh + 19h^2 - 19h}{h}
\]

### Paso 3: Simplificar y calcular el límite
Factorizamos \( h \) en el numerador:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(38x + 19h - 19)}{h}
\]

Cancelamos \( h \) en el numerador y denominador:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} (38x + 19h - 19)
\]

Finalmente, al aplicar el límite cuando \( h \to 0 \):

\[
f'(x) = 38x - 19
\]

Por lo tanto, la derivada de \( 19x^2 - 19x - 19 \) es:

\[
f'(x) = 38x - 19
\]

---

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza la derivada en problemas de optimización?
2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada?
3. ¿Qué aplicaciones tiene la derivada en la física?
4. ¿Cómo afecta el signo de la derivada al comportamiento de una función?
5. ¿Qué ocurre si calculamos la segunda derivada de esta función?

**Tip:** Recuerda que la derivada es la tasa de cambio de una función, útil para analizar cómo varía la función respecto a su variable.

derivada por definición de: 19x^2 -19x-19

Learn how to find the derivative by definition of the polynomial function 19x^2 - 19x - 19. This step-by-step solution applies the limit definition of a derivative and simplifies the result to f'(x) = 38x - 19. Ideal for calculus students in Grades 11-12 or introductory college courses.

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