Realizar la demostracion empleando los saberes matematicos utilizados

Para demostrar que el perímetro del cuadrilátero \(KLMN\) es igual a 11, utilizaremos el **Teorema de Varignon** y propiedades de los puntos medios en un cuadrilátero.

### Paso 1: Teorema de Varignon
El Teorema de Varignon establece que, al unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera, se forma un paralelogramo. Además, los lados de este paralelogramo son paralelos y equivalen a la mitad de las diagonales del cuadrilátero original.

### Paso 2: Definición de los puntos medios
Sean \(K\), \(L\), \(M\) y \(N\) los puntos medios de los lados \(AB\), \(BC\), \(CD\) y \(DA\) del cuadrilátero \(ABCD\). Entonces:
\[
\overline{K} = \left(\frac{A + B}{2}\right), \quad \overline{L} = \left(\frac{B + C}{2}\right), \quad \overline{M} = \left(\frac{C + D}{2}\right), \quad \overline{N} = \left(\frac{D + A}{2}\right)
\]

### Paso 3: Demostración de la longitud de los lados de \(KLMN\)
Consideremos los vectores que representan las diagonales del cuadrilátero:
- La diagonal \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\)
- La diagonal \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}\)

Los lados del cuadrilátero \(KLMN\) se calculan como:
\[
\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{L} - \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}}{2} = \frac{\overrightarrow{AC}}{2}
\]
\[
\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{L} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}}{2} = \frac{\overrightarrow{BD}}{2}
\]

Esto muestra que los lados del cuadrilátero \(KLMN\) son la mitad de las diagonales \(AC\) y \(BD\):
\[
KL = MN = \frac{AC}{2}, \quad LM = KN = \frac{BD}{2}
\]

### Paso 4: Sustitución de las longitudes conocidas
Dado que \(AC = 6\) y \(BD = 5\), podemos sustituir:
\[
KL = MN = \frac{6}{2} = 3, \quad LM = KN = \frac{5}{2} = 2.5
\]

### Paso 5: Cálculo del perímetro de \(KLMN\)
El perímetro de \(KLMN\) es la suma de las longitudes de todos sus lados:
\[
\text{Perímetro} = 2(KL + LM) = 2(3 + 2.5) = 2 \times 5.5 = 11
\]

### Conclusión
Se ha demostrado que el perímetro del cuadrilátero \(KLMN\) es \( \boxed{11} \).

¿Necesitas más detalles o alguna aclaración?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el Teorema de Varignon en otros tipos de cuadriláteros, como un trapecio?
2. ¿Qué sucede si las diagonales del cuadrilátero \(ABCD\) son perpendiculares entre sí?
3. ¿Cómo varía la forma de \(KLMN\) si \(ABCD\) es un cuadrado?
4. ¿Cómo se puede extender este enfoque para cuadriláteros no convexos?
5. ¿Qué sucede con el área del cuadrilátero \(KLMN\) en relación con el área de \(ABCD\)?

**Tip:** Siempre que te enfrentes a un problema geométrico complejo, busca simplificarlo utilizando propiedades conocidas como las de los puntos medios y paralelogramos.

Explore how to calculate the perimeter of quadrilateral KLMN using geometric properties and the midpoint theorem. This problem involves demonstrating the application of Varignon's theorem and calculating vector lengths. Suitable for high school students.

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