单自由度系统受到谐波荷载 P(t) = 49sin(wt) (unit: N)的作用, 当外荷载周期T=0.2 sec时发生共振，最大位移为 0.50 cm。假定小阻尼系统，确定系统的阻尼系数




对于一个单自由度系统受到谐波荷载的作用时，如果系统发生共振，我们可以根据给定的参数计算系统的阻尼系数 \( \zeta \)。根据共振条件，外部强迫荷载的频率等于系统的固有频率。

### 给定条件：
- 荷载 \( P(t) = 49 \sin(\omega t) \) (N)
- 荷载周期 \( T = 0.2 \, \text{s} \)
- 最大位移 \( X_{\text{max}} = 0.50 \, \text{cm} = 0.005 \, \text{m} \)
- 轻微阻尼系统

### 第一步：确定系统的固有频率
由于发生共振，系统的固有频率 \( \omega_n \) 与外荷载的强迫频率 \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) 相等。利用荷载周期 \( T = 0.2 \, \text{秒} \)，可以计算出强迫角频率 \( \omega \)：

\[
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi \, \text{rad/s} = 31.42 \, \text{rad/s}
\]

因此，系统的固有频率 \( \omega_n \) 也是 \( 31.42 \, \text{rad/s} \)。

### 第二步：确定阻尼系数
在共振条件下，最大位移可表示为：

\[
X_{\text{max}} = \frac{P_0}{k} \cdot \frac{1}{2\zeta}
\]

其中：
- \( P_0 = 49 \, \text{N} \) 是荷载的幅值，
- \( k = m\omega_n^2 \) 是系统的刚度，
- \( \zeta \) 是阻尼比。

我们现在用位移公式来计算阻尼比。首先计算系统的刚度 \( k \)。使用公式 \( k = \frac{P_0}{X_{\text{max}}} \cdot \frac{1}{2\zeta} \),

单自由度系统受到谐波荷载 P(t) = 49sin(wt) (unit: N)的作用, 当外荷载周期T=0.2 sec时发生共振，最大位移为 0.50 cm。假定小阻尼系统，确定系统的阻尼系数

Learn how to calculate the damping coefficient for a lightly damped single degree of freedom system subjected to harmonic loading P(t) = 49sin(wt). The system experiences resonance at an external load period of T = 0.2 sec, with a maximum displacement of 0.50 cm. Step-by-step solution provided.

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