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Vamos resolver as duas questões com cuidado. 

### Questão 7:
A questão pede quantas maneiras distintas podemos colorir as quatro faces de um **tetraedro regular** com **10 cores diferentes**, considerando que as faces podem ser repetidas, mas colorações que podem ser obtidas por rotações do tetraedro são equivalentes. Esse é um típico problema de contagem com simetrias.

Para resolver isso, podemos usar o **Teorema de Burnside** ou o princípio de contagem com simetrias. No caso de um tetraedro, ele possui 12 rotações, então é necessário calcular as combinações válidas considerando essas simetrias. Após aplicar o teorema de Burnside, o número de formas distintas de colorir o tetraedro será:

\[ \frac{10^4 + 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10}{12} = 715. \]

Portanto, a **resposta correta da questão 7 é a letra B (715)**.

### Questão 8:
A questão pede para distribuir **7 bolas brancas** e **4 bolas vermelhas** em **5 caixas numeradas**, sabendo que bolas de mesma cor são indistinguíveis.

Aqui temos um problema de particionamento de conjuntos. A quantidade de maneiras de distribuir as bolas brancas é dada pelo **número de combinações com repetição**:

\[
\text{Brancas:} \quad \binom{7+5-1}{5-1} = \binom{11}{4} = 330.
\]

Para as bolas vermelhas, o cálculo é semelhante:

\[
\text{Vermelhas:} \quad \binom{4+5-1}{5-1} = \binom{8}{4} = 70.
\]

O número total de distribuições possíveis será o produto desses dois valores:

\[
330 \times 70 = 23100.
\]

Portanto, a **resposta correta da questão 8 é a letra A (23100)**.

Se você tiver dúvidas ou quiser mais detalhes sobre a resolução, estarei à disposição.

### Perguntas relacionadas:
1. Como se aplica o Teorema de Burnside para resolver problemas de simetria?
2. O que são combinações com repetição e como são calculadas?
3. Quantas rotações diferentes tem um tetraedro regular?
4. Como resolver problemas de particionamento de conjuntos em combinatória?
5. O que muda na contagem se as caixas não forem numeradas?

### Dica:
Ao resolver problemas de contagem com simetrias, sempre considere o uso do Teorema de Burnside ou o princípio da inclusão-exclusão para contabilizar as soluções corretamente.

07. De quantos modos distintos podemos colorir as quatro faces de um tetraedro regular sabendo que dispomos de 10 cores diferentes, considerando que as faces podem ter cores repetidas? (Duas colorações distintas não podem ser obtidas uma da outra por rotações.)
08. De quantos modos podemos distribuir 7 bolas brancas e 4 bolas vermelhas em 5 caixas numeradas de 1 a 5, sabendo que bolas de mesma cor são iguais?

Solve advanced combinatorics problems such as coloring a tetrahedron with 10 colors and distributing 7 white and 4 red balls into 5 numbered boxes. Learn how Burnside's Theorem and combinations with repetition help in solving these problems. Suitable for university-level students.

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