A função f(x) = - x² + 5x - 6, onde x é o período de tempo em anos e y é o faturamento em milhões, demonstra que uma empresa começou a ter lucro no segundo ano de funcionamento, mas que depois de um certo tempo ela voltou a fechar suas contas com saldo negativo. Em qual ano de funcionamento a empresa voltou a operar com prejuízo?

Para determinar em qual ano a empresa voltou a operar com prejuízo, precisamos encontrar as raízes da função \( f(x) = -x^2 + 5x - 6 \), ou seja, os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 0 \).

### Passos:
1. **Determinação das raízes da equação:**

A função quadrática é da forma \( ax^2 + bx + c = 0 \), onde:
- \( a = -1 \)
- \( b = 5 \)
- \( c = -6 \)

Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

2. **Substituindo os valores:**

\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-1)(-6)}}{2(-1)}
\]

\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{-2}
\]

\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{-2}
\]

\[
x = \frac{-5 \pm 1}{-2}
\]

Isso resulta em duas soluções:

\[
x_1 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-5 - 1}{-2} = 3
\]

### Análise das raízes:
As raízes \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 3 \) indicam os pontos onde o faturamento \( f(x) \) é zero. A função \( f(x) = -x^2 + 5x - 6 \) é uma parábola voltada para baixo (devido ao coeficiente negativo de \( x^2 \)).

- No intervalo entre \( x = 2 \) e \( x = 3 \), a empresa tem lucro.
- A partir de \( x = 3 \), o faturamento começa a cair e a empresa volta a operar com prejuízo.

### Resposta:
A empresa voltou a operar com prejuízo no **terceiro ano de funcionamento**.

---

Você gostaria de mais detalhes sobre algum passo ou tem alguma pergunta?

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como determinar o ponto máximo de uma função quadrática?
2. Como a derivada ajuda a identificar pontos de máximo e mínimo?
3. O que significa o discriminante da equação quadrática?
4. Como interpretar a concavidade de uma parábola em relação ao coeficiente de \( x^2 \)?
5. Como a função quadrática pode ser utilizada para prever lucros futuros?

**Dica:** Sempre que uma parábola tem a concavidade voltada para baixo, o valor máximo ocorre no vértice, e a função descreve um cenário onde o crescimento atinge um pico antes de começar a decair.

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