Hallar el módulo del número complejo:  z = (1 - 7i)/(-1 + i)

Para hallar el módulo del número complejo \( z = \frac{1 - 7i}{-1 + i} \), vamos a seguir estos pasos:

### Paso 1: Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador
El conjugado de \( -1 + i \) es \( -1 - i \). Entonces, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por este conjugado:

\[
z = \frac{(1 - 7i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)}
\]

### Paso 2: Simplificar el denominador
Sabemos que \( (-1 + i)(-1 - i) \) es la forma de un producto de un número complejo por su conjugado, que resulta en la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria:

\[
(-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2
\]

### Paso 3: Simplificar el numerador
Multiplicamos \( (1 - 7i)(-1 - i) \):

\[
(1 - 7i)(-1 - i) = 1(-1) + 1(-i) + (-7i)(-1) + (-7i)(-i)
\]
\[
= -1 - i + 7i + 7i^2
\]
Como \( i^2 = -1 \):

\[
= -1 - i + 7i + 7(-1) = -1 - i + 7i - 7 = -8 + 6i
\]

### Paso 4: Expresar el número simplificado
Ahora tenemos:

\[
z = \frac{-8 + 6i}{2} = -4 + 3i
\]

### Paso 5: Hallar el módulo
El módulo de un número complejo \( z = a + bi \) es:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

En este caso, \( a = -4 \) y \( b = 3 \):

\[
|z| = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

### Resultado final
El módulo del número complejo \( z = (1 - 7i)/(-1 + i) \) es:

\[
|z| = 5
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?  
Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías explorar:

1. ¿Cómo se calcula el conjugado de un número complejo?
2. ¿Por qué la multiplicación por el conjugado simplifica la división de números complejos?
3. ¿Qué significa el módulo de un número complejo geométricamente?
4. ¿Cómo se representa el número \( z = -4 + 3i \) en el plano complejo?
5. ¿Existen otros métodos para calcular el módulo sin simplificar el número?

**Tip**: El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano complejo.

Hallar el módulo del número complejo: z = (1 - 7i)/(-1 + i)

Aprende a calcular el módulo del número complejo z = (1 - 7i)/(-1 + i) con una solución detallada paso a paso. Descubre cómo usar el conjugado de un número complejo y cómo aplicar la fórmula del módulo. Este problema es adecuado para estudiantes de secundaria avanzada (Grades 10-12).

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