1. Comprueba ū, (-y;x) y ö, = y; -x) que son vectores perpendiculares al vector ð = (x; y).

Para comprobar que los vectores \( ū = (-y, x) \) y \( \overline{ö} = (y, -x) \) son perpendiculares al vector \( \overline{ð} = (x, y) \), debemos verificar que el **producto escalar** entre cada uno de estos vectores con \( \overline{ð} \) sea igual a cero.

El **producto escalar** entre dos vectores \( \overline{v} = (v_1, v_2) \) y \( \overline{w} = (w_1, w_2) \) está dado por:

\[
\overline{v} \cdot \overline{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2
\]

### 1. Comprobación de \( ū = (-y, x) \) y \( \overline{ð} = (x, y) \):

\[
ū \cdot \overline{ð} = (-y) \cdot x + x \cdot y = -xy + xy = 0
\]

El producto escalar entre \( ū \) y \( \overline{ð} \) es 0, lo que indica que son perpendiculares.

### 2. Comprobación de \( \overline{ö} = (y, -x) \) y \( \overline{ð} = (x, y) \):

\[
\overline{ö} \cdot \overline{ð} = y \cdot x + (-x) \cdot y = xy - xy = 0
\]

El producto escalar entre \( \overline{ö} \) y \( \overline{ð} \) es 0, lo que también indica que son perpendiculares.

### Conclusión:
Ambos vectores \( ū = (-y, x) \) y \( \overline{ö} = (y, -x) \) son perpendiculares al vector \( \overline{ð} = (x, y) \), ya que los productos escalares respectivos son cero.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?  
Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define el producto escalar en el espacio tridimensional?
2. ¿Qué significa que dos vectores sean ortogonales?
3. ¿Cómo se relaciona el producto escalar con el ángulo entre dos vectores?
4. ¿Podrías encontrar un vector perpendicular a un vector dado en tres dimensiones?
5. ¿Qué otras formas hay de comprobar que dos vectores son perpendiculares?

**Tip:** El producto escalar de dos vectores es útil no solo para determinar perpendicularidad, sino también para medir la proyección de un vector sobre otro.

Comprueba ū, (-y;x) y ö, = y; -x) que son vectores perpendiculares al vector ð = (x; y).

Discover how to verify if the vectors ū = (-y, x) and ö = (y, -x) are perpendicular to the vector ð = (x, y) using the dot product. This problem explores key vector algebra concepts like perpendicularity and the dot product formula, suitable for students in Grades 10-12.

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