Si se desea establecer una muestra representativa para estudiar una problemática de indicadores de asistencia a bibliotecas en Colombia, a través del muestreo aleatorio simple con un nivel de confianza del 95%, un error estimado del 5% y una población de 190, de los cuales se sabe que solo el 10% asiste a la biblioteca para consultar sobre literatura popular, ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?

Para determinar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo aleatorio simple, con un nivel de confianza del 95%, un error estimado del 5%, y una población finita de 190 personas, utilizamos la siguiente fórmula:

\[
n = \frac{N \cdot Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2 \cdot (N-1) + Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}
\]

Donde:

- \( n \) = tamaño de la muestra
- \( N \) = tamaño de la población (190)
- \( Z \) = valor de la distribución normal estándar correspondiente al nivel de confianza (para 95%, \( Z \approx 1.96 \))
- \( p \) = proporción de la población que tiene la característica de interés (en este caso, 10%, o \( p = 0.1 \))
- \( E \) = margen de error deseado (5%, o \( E = 0.05 \))

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula:

\[
n = \frac{190 \cdot (1.96)^2 \cdot 0.1 \cdot (1-0.1)}{(0.05)^2 \cdot (190-1) + (1.96)^2 \cdot 0.1 \cdot (1-0.1)}
\]

Primero calculamos los valores de las expresiones intermedias:

\[
Z^2 = 1.96^2 = 3.8416
\]

\[
p \cdot (1-p) = 0.1 \cdot 0.9 = 0.09
\]

\[
E^2 = 0.05^2 = 0.0025
\]

Ahora sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
n = \frac{190 \cdot 3.8416 \cdot 0.09}{0.0025 \cdot 189 + 3.8416 \cdot 0.09}
\]

Calculamos el numerador y el denominador:

\[
Numerador = 190 \cdot 3.8416 \cdot 0.09 \approx 65.80464
\]

\[
Denominador = (0.0025 \cdot 189) + (3.8416 \cdot 0.09) \approx 0.4725 + 0.345744 \approx 0.818244
\]

Finalmente, calculamos el tamaño de la muestra:

\[
n \approx \frac{65.80464}{0.818244} \approx 80.42
\]

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos al número entero más cercano:

\[
n \approx 80
\]

**Conclusión:** El tamaño de la muestra representativa sería de aproximadamente 80 personas.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo influye el tamaño de la población en el cálculo del tamaño de la muestra?
2. ¿Qué pasa si el nivel de confianza se cambia a 99%? ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra?
3. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra si la proporción esperada de la característica de interés fuera 50% en lugar de 10%?
4. ¿Cómo se calcula el tamaño de la muestra si se desea un margen de error menor, como 3%?
5. ¿Por qué es importante que la muestra sea representativa?

**Tip:** Cuando trabajes con poblaciones pequeñas y niveles de confianza altos, el tamaño de la muestra puede acercarse mucho al tamaño total de la población, lo cual puede justificar un censo en lugar de una muestra.

Descubre cómo calcular el tamaño de la muestra para estudiar la asistencia a bibliotecas en Colombia utilizando muestreo aleatorio simple. Este problema abarca conceptos clave de estadísticas como intervalos de confianza, margen de error, y fórmulas para poblaciones finitas. Ideal para estudiantes de niveles avanzados en estadísticas.

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