Para la funci´on de ´area superficial de la piel definida anteriormente encuentre
∂S
∂h en w = 60 y h = 36. Si una ni˜na crece de 36 a 37 pulg, mientras su peso se
mantiene en 60 lb, ¿cu´al es el aumento aproximado en el ´area de la piel?

Para abordar este problema, primero necesitamos definir claramente la función de área superficial de la piel \( S \) en términos del peso \( w \) y la altura \( h \). Supongamos que la fórmula para el área superficial está dada por:

\[
S(w, h) = 0.007184 \cdot w^{0.425} \cdot h^{0.725}
\]

Donde:
- \( S \) es el área superficial en metros cuadrados,
- \( w \) es el peso en libras,
- \( h \) es la altura en pulgadas.

### Paso 1: Derivar \( \frac{\partial S}{\partial h} \)

Queremos encontrar la derivada parcial de \( S \) con respecto a \( h \), manteniendo \( w \) constante. La derivada parcial de \( S(w, h) \) respecto a \( h \) es:

\[
\frac{\partial S}{\partial h} = 0.007184 \cdot w^{0.425} \cdot \frac{\partial}{\partial h} \left( h^{0.725} \right)
\]

Dado que \( \frac{d}{dh} h^{0.725} = 0.725 \cdot h^{-0.275} \), la derivada parcial queda:

\[
\frac{\partial S}{\partial h} = 0.007184 \cdot w^{0.425} \cdot 0.725 \cdot h^{-0.275}
\]

### Paso 2: Evaluar en \( w = 60 \) y \( h = 36 \)

Sustituimos los valores de \( w = 60 \) libras y \( h = 36 \) pulgadas:

\[
\frac{\partial S}{\partial h} = 0.007184 \cdot (60)^{0.425} \cdot 0.725 \cdot (36)^{-0.275}
\]

Calculemos este valor para encontrar la tasa de cambio del área superficial con respecto a la altura.

### Paso 3: Aumento en el área superficial

Si la niña crece de \( h = 36 \) pulgadas a \( h = 37 \) pulgadas, podemos usar la derivada \( \frac{\partial S}{\partial h} \) para aproximar el cambio en el área superficial. El cambio aproximado en el área de la piel es:

\[
\Delta S \approx \frac{\partial S}{\partial h} \cdot \Delta h
\]

Donde \( \Delta h = 1 \) pulgada. Ahora vamos a calcular estos valores.La derivada parcial de la superficie con respecto a la altura en \( w = 60 \) libras y \( h = 36 \) pulgadas es aproximadamente \( 0.0111 \, \text{m}^2/\text{pulg} \). Por lo tanto, si la niña crece de 36 a 37 pulgadas, el aumento aproximado en el área de la piel será de \( 0.0111 \, \text{m}^2 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la fórmula general del área superficial corporal?
2. ¿Cómo afecta el peso al área superficial según esta fórmula?
3. ¿Cuál es la diferencia en el área si el peso también aumenta?
4. ¿Cómo podría ajustarse esta fórmula para diferentes edades?
5. ¿Qué otras fórmulas se utilizan para estimar el área superficial corporal?

### Tip:
Al trabajar con derivadas parciales, una pequeña variación en una variable afecta principalmente esa dimensión, manteniendo las demás constantes.

Para la función de área superficial de la piel definida anteriormente, encuentre ∂S/∂h en w = 60 y h = 36. Si una niña crece de 36 a 37 pulgadas, mientras su peso se mantiene en 60 lb, ¿cuál es el aumento aproximado en el área de la piel?

Este problema resuelve el cálculo aproximado del aumento en el área superficial de la piel de una niña al crecer de 36 a 37 pulgadas, con un peso constante de 60 libras. Utiliza fórmulas de derivadas parciales y modelos matemáticos biológicos, adecuado para estudiantes de secundaria avanzada o primeros años de universidad.

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