de cuántas maneras distintas se pueden colocar en un estante 9 plazas 3 libros rojos y dos azules y cuatro verdes si los libros del mismo color no se distinguen entre sí como diferente

Para resolver este problema, debemos calcular cuántas maneras distintas se pueden organizar 9 plazas en un estante con 3 libros rojos, 2 azules y 4 verdes, donde los libros del mismo color no se distinguen entre sí.

Este es un problema de **combinaciones con repetición** o **permutaciones de multiconjuntos**.

La fórmula para calcular el número de permutaciones de un multiconjunto es:

\[
\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!}
\]

Donde:
- \( n \) es el número total de elementos (en este caso, 9).
- \( n_1, n_2, \dots, n_k \) son las cantidades de cada tipo de elemento.

Aplicando los valores:

\[
n = 9, \quad n_1 = 3 \quad (\text{rojos}), \quad n_2 = 2 \quad (\text{azules}), \quad n_3 = 4 \quad (\text{verdes})
\]

Entonces:

\[
\text{Número de maneras} = \frac{9!}{3! \times 2! \times 4!}
\]

Calculamos:

\[
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880
\]

\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]

\[
2! = 2 \times 1 = 2
\]

\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]

Ahora sustituimos en la fórmula:

\[
\frac{362880}{6 \times 2 \times 24} = \frac{362880}{288} = 1260
\]

Por lo tanto, hay **1260 maneras distintas** de colocar estos libros en el estante.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para explorar:

1. ¿Cómo cambia el cálculo si añadimos un libro de un cuarto color?
2. ¿Qué sucede si los libros rojos se pueden distinguir entre sí?
3. ¿Cómo resolveríamos este problema usando combinatoria simple?
4. ¿Qué diferencias existen entre combinaciones y permutaciones?
5. ¿Cómo se resuelve un problema similar si las posiciones en el estante son circulares?

**Tip:** Al trabajar con permutaciones de multiconjuntos, es útil recordar que los elementos indistinguibles reducen el número de permutaciones posibles.

Learn how to calculate the number of distinct ways to arrange 9 slots on a shelf with 3 red, 2 blue, and 4 green books. This problem involves permutations of multisets, where books of the same color are indistinguishable. Suitable for advanced high school students.

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