6. Calcula el área de una región triangular ABC, si
se sabe que m A = 37°, m C = 45° y AC = 28 cm.

Para calcular el área de un triángulo cuando tenemos dos ángulos y un lado, podemos usar la **fórmula del área con el seno**:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\theta)
\]

En este caso, necesitamos conocer la longitud de otro lado, ya que solo tenemos el lado \( AC = 28 \, \text{cm} \) y los ángulos \( \angle A = 37^\circ \) y \( \angle C = 45^\circ \). Para encontrar el lado \( BC \), podemos usar la **ley de los senos**:

\[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)}
\]

Primero, determinamos el ángulo \( \angle B \) usando la propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo, que es 180°:

\[
B = 180^\circ - 37^\circ - 45^\circ = 98^\circ
\]

Ahora, usando la ley de los senos:

\[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}
\]

\[
\frac{28}{\sin(98^\circ)} = \frac{BC}{\sin(37^\circ)}
\]

Calculamos el valor de \( BC \) resolviendo la ecuación anterior.

\[
BC = \frac{28 \cdot \sin(37^\circ)}{\sin(98^\circ)}
\]

Vamos a calcular este valor:La longitud del lado \( BC \) es aproximadamente \( 17.02 \, \text{cm} \).

Ahora podemos usar la fórmula del área de un triángulo:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)
\]

Donde:
- \( AC = 28 \, \text{cm} \)
- \( BC = 17.02 \, \text{cm} \)
- \( \angle C = 45^\circ \)

Calculamos el área:El área de la región triangular \( ABC \) es aproximadamente \( 168.45 \, \text{cm}^2 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la variación de un ángulo en el cálculo del área de un triángulo?
2. ¿Qué otras fórmulas existen para calcular el área de un triángulo?
3. ¿Qué es la ley de los senos y cuándo se utiliza?
4. ¿Cómo podríamos calcular los otros dos lados del triángulo usando trigonometría?
5. ¿Cuál es la relación entre los ángulos internos de cualquier triángulo?

**Tip**: La ley de los cosenos es útil cuando tienes dos lados y el ángulo comprendido para calcular el tercer lado.

Calcula el área de una región triangular ABC, si se sabe que m A = 37°, m C = 45° y AC = 28 cm.

Learn how to calculate the area of a triangle given two angles and one side using trigonometric principles. This example uses the Law of Sines and the formula for the area of a triangle, making it suitable for students in Grades 10-12.

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