4) ¿Qué amplitud (en grados) debe tener el sector circular para 
construir los conos rectos  de altura 30cm y radio de 
la base de 10cm?

Para determinar la amplitud en grados que debe tener el sector circular para construir los conos rectos con una altura de 30 cm y un radio de base de 10 cm, podemos proceder de la siguiente manera:

### Paso 1: Determinar la longitud de la generatriz del cono
La generatriz del cono (denotada como \( g \)) se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz:

\[
g = \sqrt{h^2 + r^2}
\]

Donde:
- \( h = 30 \, \text{cm} \) es la altura del cono.
- \( r = 10 \, \text{cm} \) es el radio de la base.

Sustituyendo los valores:

\[
g = \sqrt{30^2 + 10^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, \text{cm}
\]

### Paso 2: Relación entre la longitud de la generatriz y el ángulo del sector circular
La longitud del arco del sector circular debe ser igual a la circunferencia de la base del cono:

\[
\text{Longitud del arco} = 2\pi r
\]

La longitud del arco también puede expresarse como \( \theta \) (el ángulo en radianes) multiplicado por la generatriz \( g \):

\[
\theta \cdot g = 2\pi r
\]

De aquí, podemos resolver para \( \theta \):

\[
\theta = \frac{2\pi r}{g}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\theta = \frac{2\pi \times 10}{31.62} \approx 1.9896 \, \text{radianes}
\]

### Paso 3: Convertir el ángulo a grados
Finalmente, convertimos \( \theta \) a grados:

\[
\theta_{\text{grados}} = \theta \times \frac{180}{\pi} \approx 1.9896 \times 57.2958 \approx 114 \, \text{grados}
\]

### Respuesta
La amplitud del sector circular debe ser de aproximadamente **114 grados**.

---

¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para la generatriz y el sector circular?
2. ¿Qué otras formas geométricas se pueden construir con sectores circulares?
3. ¿Qué sucedería si cambiamos el radio de la base del cono?
4. ¿Cómo afectaría una altura mayor al ángulo del sector circular?
5. ¿Podrías construir un cono con una base de forma diferente a un círculo?

**Tip:** Recuerda que la generatriz es la línea que une cualquier punto de la base del cono con el vértice, siendo fundamental para determinar la amplitud del sector circular.

Learn how to calculate the sector angle needed to construct right cones with a height of 30 cm and a base radius of 10 cm. This problem involves geometric concepts such as the Pythagorean theorem and the circumference formula. Suitable for high school students studying geometry.

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