Bestimmen sie lim x->unendlich f(x). Berechnen sie anschließend auch den Grenzwert für x->-unendlich. f(x)=3-11x³ / 10x³

Gegeben ist die Funktion \( f(x) = \frac{3 - 11x^3}{10x^3} \). Wir möchten den Grenzwert der Funktion sowohl für \( x \to \infty \) als auch für \( x \to -\infty \) berechnen.

### Schritt 1: Vereinfachung der Funktion
Zuerst vereinfachen wir die Funktion, indem wir den gesamten Ausdruck durch \( x^3 \) im Zähler und im Nenner teilen:
\[
f(x) = \frac{3 - 11x^3}{10x^3} = \frac{3}{10x^3} - \frac{11x^3}{10x^3} = \frac{3}{10x^3} - \frac{11}{10}
\]
Damit ergibt sich:
\[
f(x) = \frac{3}{10x^3} - \frac{11}{10}
\]

### Schritt 2: Grenzwert für \( x \to \infty \)
Wenn \( x \) gegen unendlich strebt, dann strebt der Ausdruck \( \frac{3}{10x^3} \) gegen 0, da \( x^3 \) immer größer wird. Damit ergibt sich:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 - \frac{11}{10} = -\frac{11}{10}
\]

### Schritt 3: Grenzwert für \( x \to -\infty \)
Ähnlich wie bei \( x \to \infty \) strebt der Ausdruck \( \frac{3}{10x^3} \) auch bei \( x \to -\infty \) gegen 0, da \( x^3 \) bei negativen \( x \) ebenfalls immer größer wird (negativ, aber in absoluten Werten größer). Daher:
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 - \frac{11}{10} = -\frac{11}{10}
\]

### Zusammenfassung:
- Der Grenzwert für \( x \to \infty \) ist \( -\frac{11}{10} \).
- Der Grenzwert für \( x \to -\infty \) ist ebenfalls \( -\frac{11}{10} \).

Möchten Sie weitere Details zu den Schritten oder haben Sie Fragen?

---

1. Warum wird der Ausdruck \( \frac{3}{10x^3} \) gegen 0, wenn \( x \) gegen unendlich strebt?
2. Was bedeutet es, wenn eine Funktion einen negativen Grenzwert hat?
3. Wie wirkt sich der höchste Exponent im Zähler und Nenner auf den Grenzwert aus?
4. Gibt es Fälle, in denen der Grenzwert für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) unterschiedlich ist?
5. Wie könnte man den Grenzwert einer Funktion bestimmen, die nicht durch \( x^3 \) dominiert wird?
6. Welche Rolle spielt der Koeffizient des höchsten Grades in der Funktion?
7. Kann eine Funktion ohne rationale Ausdrücke (Brüche) ähnliche Grenzwerte haben?
8. Was passiert, wenn der Zähler und der Nenner den gleichen Grad haben?

**Tipp:** Bei der Bestimmung von Grenzwerten ist es oft hilfreich, die Funktion durch den höchsten Exponenten von \( x \) zu teilen, um die Dominanz der Terme zu erkennen.

Explore how to calculate the limit of the function f(x) = (3 - 11x^3) / (10x^3) as x approaches infinity and negative infinity. Understand the mathematical steps involved in simplifying and evaluating limits. Suitable for advanced high school students and anyone interested in calculus and polynomial functions.

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