Bestimmen sie lim x->unendlich f(x). Berechnen sie anschließend auch den Grenzwert für x->-unendlich. f(x)=x²-x / 3x²

Wir haben die Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - x}{3x^2} \). Um den Grenzwert der Funktion zu bestimmen, wenn \( x \) gegen unendlich bzw. minus unendlich strebt, können wir die Grenzwerte für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) getrennt berechnen.

### Schritt 1: Grenzwert für \( x \to \infty \)
Die Funktion \( f(x) \) lässt sich vereinfachen:
\[
f(x) = \frac{x^2 - x}{3x^2} = \frac{x^2}{3x^2} - \frac{x}{3x^2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3x}
\]
Wenn \( x \) gegen unendlich strebt, dann strebt der Ausdruck \( \frac{1}{3x} \) gegen 0. Daher ist der Grenzwert:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
\]

### Schritt 2: Grenzwert für \( x \to -\infty \)
Ähnlich wie bei \( x \to \infty \) vereinfacht sich die Funktion:
\[
f(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3x}
\]
Wenn \( x \) gegen minus unendlich strebt, dann strebt der Ausdruck \( \frac{1}{3x} \) ebenfalls gegen 0, aber von der negativen Seite. Dennoch bleibt der Grenzwert:
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
\]

### Zusammenfassung:
- Der Grenzwert für \( x \to \infty \) ist \( \frac{1}{3} \).
- Der Grenzwert für \( x \to -\infty \) ist ebenfalls \( \frac{1}{3} \).

Möchten Sie weitere Details zu den Schritten oder haben Sie Fragen?

---

1. Wie vereinfacht man einen Bruch, der Terme mit \( x \) im Zähler und Nenner enthält?
2. Warum strebt der Ausdruck \( \frac{1}{3x} \) gegen 0, wenn \( x \) gegen unendlich strebt?
3. Was passiert mit \( f(x) \), wenn der Zähler höherer Ordnung ist als der Nenner?
4. Wie wirkt sich ein negativer Wert von \( x \) auf den Grenzwert von \( f(x) \) aus?
5. Kann eine Funktion verschiedene Grenzwerte für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) haben?
6. Wie berechnet man den Grenzwert für andere Funktionen, wie \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{3x^2 + 2} \)?
7. Was bedeutet der Begriff „Grenzwert“ in der Mathematik?
8. Wann ist ein Grenzwert nicht definiert?

**Tipp:** Bei der Grenzwertberechnung können oft höhere Potenzen von \( x \) im Zähler oder Nenner eine dominante Rolle spielen.

Learn how to calculate the limits of the rational function f(x) = (x^2 - x) / (3x^2) as x approaches infinity and minus infinity. This problem covers key concepts in limits, including rational functions and the behavior of terms as x tends to infinity or minus infinity. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation