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resuleve este limite, donde la segunta formula que esta en medio de arriba para abajo es la formula y el ultima es la respuesta, pero quiero saber como llego a la respuesta

Para resolver el límite en cuestión, seguimos el siguiente procedimiento. 

### El problema dado:
- La función original es: 
  \[
  y = \frac{x - 5}{x^1 - 3}
  \]
  Esto es lo mismo que:
  \[
  y = \frac{x - 5}{x - 3}
  \]

- El límite que necesitamos calcular es la definición de la derivada:
  \[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
  \]

### Paso 1: Reemplazar la función en la fórmula de la derivada
Reemplazamos la función \( f(x) \) en la fórmula del límite:
  \[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h - 5}{x+h - 3} - \frac{x - 5}{x - 3}}{h}
  \]

### Paso 2: Simplificar las fracciones
El siguiente paso es simplificar el numerador que consiste en dos fracciones. Para restar estas fracciones, debemos encontrar un denominador común. El denominador común entre \( \frac{x+h - 5}{x+h - 3} \) y \( \frac{x - 5}{x - 3} \) es \( (x+h - 3)(x - 3) \).

Expandiendo el numerador:
\[
\frac{(x+h - 5)(x - 3) - (x - 5)(x+h - 3)}{(x+h - 3)(x - 3)}
\]

### Paso 3: Expansión y simplificación
Ahora expandimos ambos productos en el numerador.

1. Expandimos \( (x+h - 5)(x - 3) \):
   \[
   (x+h-5)(x-3) = x(x-3) + h(x-3) - 5(x-3)
   \]

2. Expandimos \( (x - 5)(x+h - 3) \):
   \[
   (x - 5)(x+h - 3) = x(x+h-3) - 5(x+h-3)
   \]

Luego restamos ambos términos y simplificamos, lo que resultará en términos que se cancelarán, dejando algunos términos en \( h \).

### Paso 4: Cancelar \( h \) y calcular el límite
Después de simplificar, notarás que puedes factorizar un \( h \) del numerador y cancelarlo con el \( h \) del denominador. Luego, al tomar el límite cuando \( h \to 0 \), obtienes el valor de la derivada.

### Paso 5: Resultado final
La derivada o el límite calculado al final da la pendiente de la tangente en el punto de la función dada.

---

Si necesitas más detalles o alguna explicación más específica sobre uno de estos pasos, ¡no dudes en preguntar!

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se restan fracciones complejas en un límite?
2. ¿Qué papel juegan los términos que contienen \( h \) en los límites de derivadas?
3. ¿Qué significa el resultado final del límite en términos geométricos?
4. ¿Cómo se simplifican las fracciones al resolver límites?
5. ¿Cómo se aplica la regla de L'Hôpital en situaciones similares?

### Tip:
Asegúrate siempre de simplificar completamente antes de tomar el límite, ya que esto evitará errores comunes en cálculos algebraicos complejos.

Learn how to calculate a limit involving derivatives step-by-step. This problem involves the limit definition of derivatives and requires algebraic simplification. Suitable for advanced high school students and calculus learners.

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