La integral que quieres calcular es:

\[
\int \sqrt{25 - t^2} \, dt
\]

Esta es una integral típica que se resuelve utilizando una sustitución trigonométrica. Vamos a resolverla paso a paso:

### 1. Sustitución Trigonométrica
Usamos la sustitución \( t = 5\sin(\theta) \), lo que implica que \( dt = 5\cos(\theta) \, d\theta \).

Ahora, sustituyamos en la integral:

\[
\int \sqrt{25 - (5\sin(\theta))^2} \, 5\cos(\theta) \, d\theta
\]

Simplificamos el integrando:

\[
\int \sqrt{25 - 25\sin^2(\theta)} \, 5\cos(\theta) \, d\theta
\]

Factorizamos el 25 dentro de la raíz cuadrada:

\[
\int \sqrt{25(1 - \sin^2(\theta))} \, 5\cos(\theta) \, d\theta
\]

Dado que \( 1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) \), la raíz cuadrada se simplifica a:

\[
\int \sqrt{25\cos^2(\theta)} \, 5\cos(\theta) \, d\theta = \int 5\cos(\theta) \cdot 5\cos(\theta) \, d\theta
\]

Esto se simplifica a:

\[
25 \int \cos^2(\theta) \, d\theta
\]

### 2. Resolver la Integral
Para resolver \( \int \cos^2(\theta) \, d\theta \), utilizamos la identidad de ángulo doble:

\[
\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}
\]

Entonces, la integral se convierte en:

\[
25 \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{25}{2} \int (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta
\]

Integrando:

\[
\frac{25}{2} \left( \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right) + C
\]

### 3. Volver a la Variable Original
Sustituimos \( \theta \) de vuelta en términos de \( t \). Como \( t = 5\sin(\theta) \), entonces \( \sin(\theta) = \frac{t}{5} \), y podemos usar \( \theta = \arcsin\left(\frac{t}{5}\right) \).

La integral resultante en términos de \( t \) es:

\[
\frac{25}{2} \left( \arcsin\left(\frac{t}{5}\right) + \frac{t\sqrt{25-t^2}}{50} \right) + C
\]

Este es el resultado de la integral:

\[
\int \sqrt{25 - t^2} \, dt = \frac{25}{2} \arcsin\left(\frac{t}{5}\right) + \frac{t\sqrt{25 - t^2}}{2} + C
\]

¿Quieres más detalles sobre algún paso en particular? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplican las sustituciones trigonométricas a otras integrales?
2. ¿Cuál es la identidad de ángulo doble y cómo se utiliza en integración?
3. ¿Qué otros tipos de integrales se pueden resolver usando sustitución trigonométrica?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la integral \(\int \sqrt{25 - t^2} \, dt\)?
5. ¿Qué otras integrales involucran raíces cuadradas de expresiones cuadráticas?

**Tip:** La sustitución trigonométrica es una herramienta poderosa para resolver integrales que involucran raíces cuadradas de expresiones cuadráticas.

Explore how to calculate the integral ∫ √(25 - t^2) dt using trigonometric substitution. Follow a detailed step-by-step solution including the application of the double-angle identity and trigonometric formulas. Suitable for advanced high school and college-level students.

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