"Ejercicio 26 (Resuelto)";
"Calcule la aproximación de la integral desde menos infinito a infinito de";
"1/x^2, usando 2 sumandos de la familia de Hermite.";

Para calcular la aproximación de la integral de \( \frac{1}{x^2} \) desde \( -\infty \) hasta \( \infty \) usando 2 sumandos de la familia de Hermite, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Integral de Hermite
La familia de Hermite se usa en las cuadraturas gaussianas, donde las integrales del tipo:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx
\]

pueden aproximarse como una suma ponderada de los valores de la función en ciertos puntos específicos:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)
\]

Donde \( x_i \) son los puntos de evaluación (ceros de los polinomios de Hermite) y \( w_i \) son los pesos correspondientes.

### Paso 2: Transformar la Integral
La integral que tenemos es:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx
\]

Sin embargo, para aplicar la cuadratura de Hermite, necesitamos incluir el factor de peso \( e^{-x^2} \). Por lo tanto, escribimos la integral original como:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} e^{x^2} e^{-x^2} dx
\]

Ahora podemos aplicar la cuadratura de Hermite a la función \( f(x) = \frac{e^{x^2}}{x^2} \).

### Paso 3: Usar los Valores de la Cuadratura de Hermite con 2 Puntos
Para 2 sumandos, los puntos y pesos correspondientes son:

- \( x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), \( x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
- \( w_1 = w_2 = \sqrt{\pi}/2 \)

Entonces la aproximación de la integral se calcula como:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} e^{-x^2} dx \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2)
\]

### Paso 4: Sustituir y Calcular
Ahora sustituimos los valores de \( x_1 \), \( x_2 \), \( w_1 \), y \( w_2 \):

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left(\frac{e^{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} + \frac{e^{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} \right)
\]

Simplificando los términos y sumando:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \approx 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{e^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
\]

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \approx \sqrt{\pi} \cdot e^{\frac{1}{2}} \cdot 2
\]

### Resultado
La aproximación de la integral es:

\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \approx 2 \sqrt{\pi} \cdot e^{\frac{1}{2}}
\]

---

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Qué es la cuadratura de Hermite y cómo se usa?
2. ¿Por qué es necesario incluir el factor \( e^{-x^2} \) en las integrales de Hermite?
3. ¿Cómo se determinan los puntos y pesos en la cuadratura de Hermite?
4. ¿En qué otros contextos se usa la cuadratura de Hermite?
5. ¿Cómo cambiaría el resultado si se usaran más de 2 sumandos?

### Tip:
Cuando uses cuadraturas gaussianas, recuerda que cada tipo de cuadratura (Hermite, Laguerre, Chebyshev, etc.) tiene su propio conjunto de polinomios y factores de peso adecuados para diferentes tipos de integrales.

Learn how to approximate the integral from minus infinity to infinity of 1/x^2 using 2 terms of Hermite polynomial family. This detailed solution includes step-by-step calculations using Gaussian quadrature and Hermite polynomials.

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