Considere el espacio (M2×2,⊕,⊙,R)
 dotado del producto interno usual, si se definen las matrices:

A=[2798]
    B=[8991]

Encuentre la distancia entre la matriz A
 y la matriz B
.

Para encontrar la distancia entre las matrices \( A \) y \( B \) en el espacio vectorial \( \mathbb{M}_{2 \times 2} \) dotado del producto interno usual, debemos seguir los siguientes pasos:

1. **Restar las matrices**: Primero, calculamos la diferencia entre las matrices \( A \) y \( B \):
   \[
   A - B = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 8 & 7 - 9 \\ 9 - 9 & 8 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}
   \]

2. **Calcular el producto interno**: El producto interno usual para matrices en \( \mathbb{M}_{2 \times 2} \) se define como:
   \[
   \langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B)
   \]
   Sin embargo, en este caso solo necesitamos el producto interno de la matriz resultante consigo misma (la norma al cuadrado), que es la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz resultante:
   \[
   \| A - B \|^2 = (-6)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 7^2 = 36 + 4 + 0 + 49 = 89
   \]

3. **Calcular la distancia**: La distancia entre las matrices \( A \) y \( B \) es la norma de la matriz \( A - B \):
   \[
   d(A, B) = \sqrt{\| A - B \|^2} = \sqrt{89}
   \]

Por lo tanto, la distancia entre las matrices \( A \) y \( B \) es \( \sqrt{89} \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se define el producto interno en el espacio de matrices \( \mathbb{M}_{2 \times 2} \)?
2. ¿Qué otros métodos existen para medir la distancia entre matrices?
3. ¿Cómo se generaliza este concepto a matrices de mayor dimensión?
4. ¿Qué es la norma de una matriz y cómo se relaciona con la distancia?
5. ¿Cómo se calcula la distancia entre matrices en espacios con productos internos diferentes?

**Tip:** En el contexto de álgebra lineal, la distancia entre dos matrices se puede interpretar como una medida de cuán "diferentes" son entre sí en términos de su estructura interna.

Learn how to calculate the distance between matrices A and B in the vector space M2x2 with the usual inner product. Understand matrix subtraction, the norm of a matrix, and the distance formula used to find the distance between two matrices. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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