Considere el espacio (M2×2,⊕,⊙,R)
 dotado del producto interno usual, si se definen las matrices:

A=[2798]
    B=[8991]

Encuentre la distancia entre la matriz A
 y la matriz B
.

Para encontrar la distancia entre las matrices \(A\) y \(B\) en el espacio vectorial \(\mathbb{M}_{2 \times 2}\) dotado del producto interno usual, seguimos estos pasos:

### 1. Definir las matrices

Las matrices dadas son:

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 9 & 1 \end{pmatrix}.
\]

### 2. Calcular la diferencia de las matrices

Primero, calculamos la matriz que resulta de restar \(B\) de \(A\):

\[
A - B = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 8 & 7 - 9 \\ 9 - 9 & 8 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}.
\]

### 3. Calcular la norma de la matriz diferencia

La distancia entre las matrices \(A\) y \(B\) se define como la norma de la matriz diferencia \(A - B\). En el espacio vectorial de matrices \(\mathbb{M}_{2 \times 2}\), la norma inducida por el producto interno usual se calcula como:

\[
\|A - B\| = \sqrt{\langle A - B, A - B \rangle},
\]

donde el producto interno usual \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) se define como la suma de los productos de los elementos correspondientes.

Para la matriz diferencia \(A - B\):

\[
A - B = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix},
\]

la norma cuadrada es:

\[
\|A - B\|^2 = (-6)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 7^2.
\]

Calculamos los cuadrados:

\[
\|A - B\|^2 = 36 + 4 + 0 + 49 = 89.
\]

Entonces, la norma (distancia) es:

\[
\|A - B\| = \sqrt{89}.
\]

### 4. Resultado final

La distancia entre las matrices \(A\) y \(B\) es \(\sqrt{89}\).

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el producto interno en un espacio vectorial de matrices?
2. ¿Cuáles son las propiedades de la norma de una matriz en espacios vectoriales?
3. ¿Cómo se extiende el concepto de distancia a matrices de dimensiones mayores?
4. ¿Qué significa geometría en el espacio de matrices?
5. ¿Cómo se aplica la distancia de Frobenius en la práctica?

**Tip:** La distancia entre matrices usando la norma de Frobenius se utiliza comúnmente para comparar matrices en aprendizaje automático y análisis de datos.

Discover how to calculate the distance between matrices A and B in the vector space of 2x2 matrices with the usual inner product. Learn the steps to compute the matrix difference, the Frobenius norm, and interpret the distance metric in matrix spaces.

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