Un marcheur effectue une promenade de deux heures : il commence par un sentier plat,
monte une côte puis il revient par le même chemin.
Ses vitesses sont 4 km/h sur le plat, 3 km/h en montée et 6 km/h en descente.
Quelle distance totale a-t-il parcouru ?


Pour résoudre ce problème, il faut d'abord identifier les différentes sections du parcours : la partie sur le terrain plat, la montée et la descente.

### 1. Variables :
- \( v_{\text{plat}} = 4 \, \text{km/h} \) : vitesse sur le plat,
- \( v_{\text{montée}} = 3 \, \text{km/h} \) : vitesse en montée,
- \( v_{\text{descente}} = 6 \, \text{km/h} \) : vitesse en descente,
- Temps total = 2 heures.

### 2. Organisation du trajet :
Le marcheur effectue l'aller-retour sur un même sentier :
- Aller : plat → montée.
- Retour : descente → plat.

On doit déterminer combien de temps le marcheur passe sur chaque portion et quelle distance totale il parcourt.

### 3. Définition des distances :
Soit \( d_{\text{plat}} \) la distance sur la partie plate et \( d_{\text{montée}} \) la distance sur la partie en montée (qui est aussi la distance de la descente puisque c'est un aller-retour).

### 4. Temps passé :
- Le temps total passé sur le plat est \( t_{\text{plat}} \).
- Le temps passé en montée est \( t_{\text{montée}} \).
- Le temps passé en descente est \( t_{\text{descente}} \).

L'équation du temps total est :
\[
t_{\text{plat}} + t_{\text{montée}} + t_{\text{descente}} + t_{\text{plat}} = 2 \, \text{heures}.
\]
Puisque \( t_{\text{montée}} = t_{\text{descente}} \) (la montée et la descente se font sur la même distance), l'équation devient :
\[
2 t_{\text{plat}} + 2 t_{\text{montée}} = 2 \, \text{heures}.
\]
D'où :
\[
t_{\text{plat}} + t_{\text{montée}} = 1 \, \text{heure}.
\]

### 5. Relation entre les distances et les temps :
- \( d_{\text{plat}} = 4 \times t_{\text{plat}} \) (distance parcourue sur la partie plate),
- \( d_{\text{montée}} = 3 \times t_{\text{montée}} \) (distance parcourue en montée).

Le retour se fait sur les mêmes distances, donc la distance totale parcourue est :
\[
d_{\text{totale}} = 2 (d_{\text{plat}} + d_{\text{montée}}).
\]
Substituons les expressions des distances :
\[
d_{\text{totale}} = 2 (4 t_{\text{plat}} + 3 t_{\text{montée}}).
\]

### 6. Relation entre \( t_{\text{plat}} \) et \( t_{\text{montée}} \) :
Comme \( t_{\text{plat}} + t_{\text{montée}} = 1 \), on peut résoudre cette équation pour trouver \( t_{\text{plat}} \) et \( t_{\text{montée}} \). Substituons \( t_{\text{montée}} = 1 - t_{\text{plat}} \) dans l'équation de la distance totale :
\[
d_{\text{totale}} = 2 \left( 4 t_{\text{plat}} + 3 (1 - t_{\text{plat}}) \right).
\]
Simplifions :
\[
d_{\text{totale}} = 2 \left( 4 t_{\text{plat}} + 3 - 3 t_{\text{plat}} \right),
\]
\[
d_{\text{totale}} = 2 \left( t_{\text{plat}} + 3 \right),
\]
\[
d_{\text{totale}} = 2 t_{\text{plat}} + 6.
\]

### 7. Temps sur le plat :
Sachant que le temps sur le plat et en montée doit totaliser 1 heure, on obtient une dernière équation :
\[
2 t_{\text{plat}} + 6 = \text{distance totale}.


Un marcheur effectue une promenade de deux heures : il commence par un sentier plat, monte une côte puis il revient par le même chemin. Ses vitesses sont 4 km/h sur le plat, 3 km/h en montée et 6 km/h en descente. Quelle distance totale a-t-il parcouru ?

Learn how to calculate the total distance a hiker covers during a 2-hour walk with different speeds on flat ground, uphill, and downhill. This detailed solution uses speed-time-distance relationships and linear equations. Ideal for students in Grades 9-10.

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