 Calcule el determinante de las siguientes matrices haciendo uso de las propiedades    realiza esta operación paso a paso                   
 (1  0  -2)  (2  3  -2)   (-4  -6  4)

Para calcular el determinante de la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ -4 & -6 & 4 \end{pmatrix} \) utilizando las propiedades de los determinantes, podemos seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Reconocimiento de la matriz y determinante inicial

La matriz \( A \) es una matriz de \( 3 \times 3 \) y se puede calcular su determinante utilizando la fórmula general para matrices de esta dimensión:

\[
\text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})
\]

### Paso 2: Aplicación de la fórmula

Sustituimos los valores específicos de la matriz \( A \) en la fórmula:

\[
\text{det}(A) = 1 \cdot \left(3 \cdot 4 - (-2) \cdot (-6)\right) - 0 \cdot \left(2 \cdot 4 - (-2) \cdot (-4)\right) + (-2) \cdot \left(2 \cdot (-6) - 3 \cdot (-4)\right)
\]

Ahora calculamos cada uno de los productos:

\[
\text{det}(A) = 1 \cdot (12 - 12) - 0 \cdot (8 - 8) + (-2) \cdot (-12 + 12)
\]

### Paso 3: Simplificación de las expresiones

Realizamos las operaciones dentro de los paréntesis:

\[
\text{det}(A) = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 + (-2) \cdot 0
\]

### Paso 4: Cálculo del determinante final

Finalmente, simplificamos:

\[
\text{det}(A) = 0
\]

### Conclusión

El determinante de la matriz \( A \) es \( 0 \).

Esto implica que la matriz \( A \) es una matriz singular, lo que significa que no tiene inversa y el sistema de ecuaciones asociado tiene soluciones dependientes (o no tiene soluciones si es inconsistente).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo identificar si una matriz es singular?
2. ¿Qué implicaciones tiene un determinante cero en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo se puede simplificar el cálculo del determinante usando operaciones elementales de fila?
4. ¿Qué propiedades del determinante pueden utilizarse para detectar rápidamente que el determinante es cero?
5. ¿Cómo afecta el intercambio de filas o columnas al determinante de una matriz?

**Tip:** Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes (es decir, una fila o columna es un múltiplo de otra), su determinante será siempre cero.

Learn how to calculate the determinant of the matrix A = [1 0 -2; 2 3 -2; -4 -6 4] using properties and formulas for determinants. Follow a detailed step-by-step solution including matrix recognition, formula application, simplification, and final determination. Suitable for Grades 11-12 students studying matrices and determinants.

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