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Hallar el aérea de la región sombreada de las figuras geométricas

Para hallar el área de la región sombreada en esta figura, necesitamos encontrar el área del anillo circular, que es la diferencia entre el área del círculo grande y el área del círculo pequeño.

Primero, hallamos el área del círculo grande:
- El radio del círculo grande es la suma del radio del círculo pequeño y la distancia adicional, es decir, \( 7 + 4 \pi^2 \).

Por lo tanto, el área del círculo grande es:
\[ A_{\text{grande}} = \pi (7 + 4\pi^2)^2 \]

Ahora, hallamos el área del círculo pequeño:
- El radio del círculo pequeño es \( 7 \).

Por lo tanto, el área del círculo pequeño es:
\[ A_{\text{pequeño}} = \pi (7)^2 = 49\pi \]

Finalmente, restamos el área del círculo pequeño del área del círculo grande para obtener el área de la región sombreada:
\[ A_{\text{sombreada}} = A_{\text{grande}} - A_{\text{pequeño}} \]
\[ A_{\text{sombreada}} = \pi (7 + 4\pi^2)^2 - 49\pi \]

Simplificamos la expresión:
\[ (7 + 4\pi^2)^2 = 49 + 56\pi^2 + 16\pi^4 \]
\[ A_{\text{sombreada}} = \pi (49 + 56\pi^2 + 16\pi^4) - 49\pi \]
\[ A_{\text{sombreada}} = 49\pi + 56\pi^3 + 16\pi^5 - 49\pi \]
\[ A_{\text{sombreada}} = 56\pi^3 + 16\pi^5 \]

Entonces, el área de la región sombreada es \( 56\pi^3 + 16\pi^5 \).

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este cálculo? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se calculan las áreas de círculos y anillos circulares?
2. ¿Cuál es la diferencia entre el área de un círculo y el perímetro de un círculo?
3. ¿Cómo se simplifican expresiones con exponentes y términos pi?
4. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las áreas de anillos circulares en la vida real?
5. ¿Cómo se representan gráficamente áreas y perímetros en geometría?

**Tip:** Cuando trabajes con áreas de figuras geométricas, es útil dibujar o visualizar las figuras para entender mejor cómo se relacionan las diferentes partes y simplificar los cálculos.

Discover how to calculate the area of the shaded region in geometric figures using the difference of areas method. This problem involves finding the area of a circular ring by subtracting the area of a smaller circle from that of a larger circle. Explore step-by-step calculations and key formulas for area calculation in high school geometry.

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