Uno de los objetivos del curso fue analizar graficas. Cuando se toman datos se determina la función que más
se ajusta al comportamiento. A continuación, se muestra una función que describe un conjunto de datos.

f(x) =
4
x
2 − 25
Se le pide analizar la función trazando la curva de f(x) y obteniendo:
1. Dominio, Rango
2. Cortes con los ejes (x, y)
3. Simetrías
4. Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas.
5. Intervalos donde la función es creciente y decreciente.
6. Valores máximos y mínimos.
7. Concavidades y puntos de inflexión.
8. Grafica en GeoGebra.

Vamos a analizar la función \( f(x) = \frac{4}{x^2 - 25} \) paso a paso.

### 1. Dominio y Rango

- **Dominio:** El dominio de \( f(x) \) son todos los valores de \( x \) donde la función está definida. La función no está definida cuando el denominador es cero, es decir:
  \[
  x^2 - 25 = 0
  \]
  \[
  x^2 = 25 \implies x = \pm 5
  \]
  Por lo tanto, el dominio es:
  \[
  D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-5, 5\}
  \]

- **Rango:** Para determinar el rango, analizamos los valores que puede tomar \( f(x) \). Observamos que \( f(x) \) nunca puede ser igual a cero (ya que el numerador es una constante no nula) y que puede tomar cualquier valor real distinto de cero. Así que:
  \[
  R(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}
  \]

### 2. Cortes con los ejes

- **Corte con el eje \( y \):** El corte con el eje \( y \) ocurre cuando \( x = 0 \):
  \[
  f(0) = \frac{4}{0^2 - 25} = \frac{4}{-25} = -\frac{4}{25}
  \]
  Entonces, el punto de corte con el eje \( y \) es \( (0, -\frac{4}{25}) \).

- **Cortes con el eje \( x \):** Para que haya un corte con el eje \( x \), \( f(x) \) debe ser igual a cero. Sin embargo, esto no ocurre ya que el numerador \( 4 \) nunca es igual a cero. Por lo tanto, no hay cortes con el eje \( x \).

### 3. Simetrías

La función \( f(x) = \frac{4}{x^2 - 25} \) es **par** porque \( f(-x) = f(x) \). Esto implica que la gráfica de la función es simétrica respecto al eje \( y \).

### 4. Asíntotas

- **Asíntotas verticales:** Ocurren donde el denominador es cero, es decir, en \( x = 5 \) y \( x = -5 \).

- **Asíntota horizontal:** Analizando el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a infinito:
  \[
  \lim_{x \to \infty} f(x) = 0
  \]
  Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).

- **Asíntotas oblicuas:** No hay asíntotas oblicuas porque la función tiene una asíntota horizontal.

### 5. Intervalos donde la función es creciente y decreciente

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos \( f(x) \) con respecto a \( x \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x^2 - 25}\right) = \frac{-8x}{(x^2 - 25)^2}
\]
- La derivada \( f'(x) \) es negativa para \( x > 0 \) y positiva para \( x < 0 \), lo que significa que la función es decreciente en \( (-\infty, -5) \cup (0, 5) \) y creciente en \( (-5, 0) \cup (5, \infty) \).

### 6. Valores máximos y mínimos

Dado que \( f(x) \) no tiene derivadas iguales a cero, la función no tiene máximos ni mínimos relativos. Sin embargo, tiene puntos de inflexión en los cuales la concavidad cambia, lo que veremos en el siguiente paso.

### 7. Concavidades y puntos de inflexión

Para estudiar la concavidad, derivamos \( f'(x) \) para obtener \( f''(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-8x}{(x^2 - 25)^2}\right) = \frac{24(x^2 + 25)}{(x^2 - 25)^3}
\]
- \( f''(x) > 0 \) cuando \( x \) está en \( (-\infty, -5) \cup (5, \infty) \), lo que significa que la función es cóncava hacia arriba en esos intervalos.
- \( f''(x) < 0 \) cuando \( x \) está en \( (-5, 5) \), lo que significa que la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

No hay puntos de inflexión porque el cambio en la concavidad ocurre en los puntos donde la función no está definida (\( x = \pm 5 \)).

### 8. Gráfica en GeoGebra

Para graficar esta función en GeoGebra:

1. **Ingresar la función:** Escribe \( f(x) = 4/(x^2 - 25) \) en la barra de entrada.
2. **Observar la gráfica:** GeoGebra trazará la curva con las características que hemos analizado: asíntotas verticales en \( x = \pm 5 \), asíntota horizontal en \( y = 0 \), simetría con respecto al eje \( y \), y comportamiento decreciente y creciente en los intervalos correspondientes.

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¿Te gustaría que te explique algún paso en mayor detalle?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia la gráfica de \( f(x) \) si cambiamos los coeficientes en el numerador?
2. ¿Qué sucede si agregamos una constante a la función \( f(x) \)?
3. ¿Cómo encontrar asíntotas oblicuas en otras funciones?
4. ¿Qué diferencias existen en el análisis de una función racional con polinomios en el numerador y denominador?
5. ¿Cómo se grafican las derivadas de la función para observar el comportamiento de \( f(x) \)?

**Tip:** Las asíntotas son esenciales para entender el comportamiento de una función a medida que \( x \) tiende a valores extremos.

Learn how to analyze the rational function f(x) = 4/(x^2 - 25) step-by-step. This problem covers determining domain, range, intercepts, symmetries, asymptotes (vertical, horizontal, and oblique), intervals of increase and decrease, and finding maxima and minima. Suitable for high school students.

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