como resolver: ( f = {(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}, y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} }

Para resolver la expresión \( f = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R}, y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \} \), se busca describir y entender el conjunto de puntos \((x, y)\) en el plano cartesiano que satisfacen la ecuación dada.

### Paso 1: Analizar la Ecuación

La ecuación \( y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \) tiene una estructura similar a la ecuación de un círculo, pero incluye una raíz cuadrada y un desplazamiento vertical. Vamos a desglosarla:

- \( \sqrt{25 - (x-3)^2} \) representa una semicircunferencia superior con radio \(5\) y centro en \( (3, 0) \).
- \( 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \) representa una semicircunferencia inferior, ya que el término \(4\) desplaza la curva hacia abajo.

### Paso 2: Determinar el Dominio

La expresión bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa para que \(y\) sea un número real. Entonces:

\[
25 - (x-3)^2 \geq 0
\]

Resolviendo esto:

\[
(x-3)^2 \leq 25
\]

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:

\[
-5 \leq x - 3 \leq 5
\]

Sumando \(3\) a todos los lados:

\[
-2 \leq x \leq 8
\]

Esto establece que el dominio de \(x\) es el intervalo \([-2, 8]\).

### Paso 3: Determinar el Rango

Para el rango de \(y\), observamos que \( \sqrt{25 - (x-3)^2} \) toma valores entre \(0\) y \(5\). Por lo tanto, \( y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \) tomará valores entre \(4\) y \(-1\):

\[
y \in [-1, 4]
\]

### Paso 4: Descripción Gráfica

La ecuación \( y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \) describe una semicircunferencia inferior con centro en \( (3, 4) \) y radio \( 5 \). Esto significa que todos los puntos \((x, y)\) que cumplen la ecuación se encuentran en la semicircunferencia inferior de un círculo centrado en \( (3, 4) \) con radio \( 5 \).

### Respuesta Final

El conjunto \( f \) está formado por los pares \((x, y)\) que satisfacen la ecuación:

\[
f = \{(x,y) \mid x \in [-2, 8], y = 4 - \sqrt{25 - (x-3)^2} \}
\]

Este conjunto representa la semicircunferencia inferior de un círculo con centro en \( (3, 4) \) y radio \( 5 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva el rango de una función que incluye una raíz cuadrada?
2. ¿Cómo se relaciona una función con la gráfica de un círculo?
3. ¿Qué significa un desplazamiento vertical en la gráfica de una función?
4. ¿Cómo se interpreta el rango de una función gráficamente?
5. ¿Qué propiedades geométricas tienen las funciones relacionadas con círculos?

### Tip:
Para interpretar correctamente una función que incluye una raíz cuadrada, asegúrate de analizar tanto el dominio como el rango para comprender completamente cómo se comporta la función.

Explore the equation y = 4 - sqrt(25 - (x-3)^2) in detail with step-by-step analysis. This problem covers the equation of a circle, square root functions, and interval notation, suitable for advanced high school students and beyond.

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