Determine qual das afirmações abaixo é verdadeira sobre a equação 5x²+9y²−45=0


Para determinar qual das afirmações é verdadeira sobre a equação \(5x² + 9y² - 45 = 0\), devemos primeiro analisar e simplificar a equação. 

### Passo 1: Simplificação da equação
Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para isolar os termos quadráticos:
\[
5x² + 9y² = 45
\]

Agora, dividimos todos os termos por 45 para normalizar a equação:
\[
\frac{5x²}{45} + \frac{9y²}{45} = \frac{45}{45}
\]
\[
\frac{x²}{9} + \frac{y²}{5} = 1
\]

### Passo 2: Identificação da equação
A equação resultante, \(\frac{x²}{9} + \frac{y²}{5} = 1\), é a equação de uma **elipse**. A forma geral da equação de uma elipse centrada na origem é:
\[
\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1
\]
onde \(a²\) e \(b²\) são os quadrados dos semi-eixos da elipse. Comparando com a nossa equação:
- \(a² = 9\) \(\Rightarrow a = 3\) 
- \(b² = 5\) \(\Rightarrow b = \sqrt{5}\)

### Conclusão
A equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 3 ao longo do eixo \(x\) e semi-eixo menor de comprimento \(\sqrt{5}\) ao longo do eixo \(y\).

Portanto, a afirmação correta sobre a equação \(5x² + 9y² - 45 = 0\) é que ela representa uma **elipse**.

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### Questões Relacionadas:
1. Como determinar se uma cônica é uma elipse, parábola ou hipérbole?
2. Qual a importância de normalizar a equação de uma cônica?
3. Como calcular os focos de uma elipse?
4. O que muda na equação de uma elipse se ela estiver transladada?
5. Como identificar as direções dos eixos principais de uma elipse?

**Dica:** Quando encontrar uma equação de segundo grau com dois termos quadráticos, sempre verifique o sinal e os coeficientes para determinar se ela representa uma elipse, parábola ou hipérbole.

Explore the mathematical analysis of the equation 5x² + 9y² - 45 = 0, which represents an ellipse centered at the origin. Learn about the properties of ellipses and their significance in geometry. Suitable for advanced high school students.

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