Die Folge \(\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ist eine spezielle Art von Folge, bei der jedes Folgenglied durch den Ausdruck \(\frac{1}{n^2}\) gegeben ist. Um die Konvergenz dieser Folge zu bestimmen, betrachten wir das Verhalten von \(\frac{1}{n^2}\), wenn \(n\) gegen unendlich geht.

### Vermutung des Grenzwerts

Wenn \(n\) immer größer wird, wird der Ausdruck \(n^2\) ebenfalls immer größer. Da \(\frac{1}{n^2}\) der Kehrwert von \(n^2\) ist, wird dieser Ausdruck immer kleiner, je größer \(n\) wird. Es ist plausibel zu vermuten, dass \(\frac{1}{n^2}\) gegen 0 konvergiert, wenn \(n\) gegen unendlich geht.

### Beweis der Konvergenz

Die Definition der Konvergenz besagt, dass eine Folge \((a_n)\) gegen einen Grenzwert \(L\) konvergiert, wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein Index \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n \geq N\) gilt:

\[
|a_n - L| < \epsilon.
\]

Für die Folge \(\left(\frac{1}{n^2}\right)\) und den vermuteten Grenzwert \(L = 0\) ergibt sich:

\[
\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2} < \epsilon.
\]

**Bestimmung des Index \(N\):**

Um die Ungleichung \(\frac{1}{n^2} < \epsilon\) zu erfüllen, manipulieren wir sie wie folgt:

\[
n^2 > \frac{1}{\epsilon}.
\]

Nehmen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten:

\[
n > \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}.
\]

Wir wählen den kleinsten ganzzahligen Index \(N\), der diese Ungleichung erfüllt:

\[
N = \left\lceil \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} \right\rceil.
\]

### Schlussfolgerung

Da wir für jedes \(\epsilon > 0\) einen solchen Index \(N\) finden können, der die Ungleichung erfüllt, konvergiert die Folge \(\left(\frac{1}{n^2}\right)\) gegen 0.

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0.
\]

### Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen dazu?

**Verwandte Fragen:**
1. Wie konvergiert die Folge \(\frac{1}{n}\) im Vergleich zu \(\frac{1}{n^2}\)?
2. Was ist die allgemeine Form der \(p\)-Reihenfolge, und wie hängt die Konvergenz von \(p\) ab?
3. Wie könnte man den Grenzwert von \(\frac{1}{n^3}\) untersuchen?
4. Was passiert, wenn wir stattdessen \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) betrachten?
5. Kann eine Folge gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren, wenn sie alterniert (z. B. \((-1)^n \frac{1}{n^2}\))?

**Tipp:** Folgen der Form \(\frac{1}{n^p}\) konvergieren gegen 0, wenn \(p > 1\). Das liegt daran, dass der Nenner schneller wächst als der Zähler, was den Wert der Folge gegen 0 sinken lässt.

Explore the convergence of the sequence (1/n^2) as n approaches infinity. Learn about the limit of 1/n^2, convergence criteria for sequences, and how to determine the limit using mathematical proofs and definitions. Suitable for college-level mathematics enthusiasts.

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