Las ecuaciones simétricas de la recta que es paralela a la recta  ﻿abrir paréntesis x coma y coma z cerrar paréntesis igual abrir paréntesis 6 coma menos 4 coma 7 cerrar paréntesis t más abrir paréntesis 5 coma menos 2 coma menos 1 cerrar paréntesis﻿ y que contiene al punto ﻿abrir paréntesis menos 2 coma menos 3 coma 4 cerrar paréntesis﻿son:


﻿fracción numerador x más 2 entre denominador 6 fin fracción igual fracción numerador y más 3 entre denominador menos 4 fin fracción igual fracción numerador z menos 4 entre denominador 7 fin fracción﻿


﻿fracción numerador x más 2 entre denominador 5 fin fracción igual fracción numerador y más 3 entre denominador menos 2 fin fracción igual fracción numerador z menos 4 entre denominador menos 1 fin fracción﻿


﻿fracción numerador x menos 6 entre denominador menos 2 fin fracción igual fracción numerador y más 4 entre denominador menos 3 fin fracción igual fracción numerador z menos 7 entre denominador 4 fin fracción﻿


﻿fracción numerador x menos 5 entre denominador 6 fin fracción igual fracción numerador y más 2 entre denominador menos 4 fin fracción igual fracción numerador z más 1 entre denominador 7 fin fracción﻿

La ecuación paramétrica de una recta tiene la forma:

\[
\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \vec{v}
\]

Donde:
- \(\vec{r}_0\) es un punto de la recta.
- \(\vec{v}\) es el vector director de la recta.

### Información dada:
La recta paralela tiene la ecuación:

\[
(x, y, z) = (6, -4, 7)t + (5, -2, -1)
\]

De esto, identificamos que el vector director es \((6, -4, 7)\) y un punto en la recta es \((5, -2, -1)\).

Queremos encontrar las ecuaciones simétricas de una recta que:
- Es paralela a esta recta, por lo que su vector director también es \((6, -4, 7)\).
- Pasa por el punto \((-2, -3, 4)\).

### Ecuación de la recta:
Utilizando el punto \((-2, -3, 4)\) y el vector director \((6, -4, 7)\), la ecuación simétrica de la recta es:

\[
\frac{x + 2}{6} = \frac{y + 3}{-4} = \frac{z - 4}{7}
\]

### Conclusión:
La ecuación correcta es:

\[
\frac{x + 2}{6} = \frac{y + 3}{-4} = \frac{z - 4}{7}
\]

Por lo tanto, la respuesta correcta es la **primera opción**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre la explicación?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan las ecuaciones paramétricas a partir de ecuaciones simétricas?
2. ¿Cómo se determina el vector director de una recta a partir de su ecuación paramétrica?
3. ¿Qué significa que una recta sea paralela a otra en términos de sus vectores directores?
4. ¿Cómo se obtiene la ecuación simétrica de una recta que pasa por un punto y tiene un vector director?
5. ¿Qué diferencia hay entre la forma simétrica y la paramétrica de una recta?

### Tip:
Siempre verifica que los vectores directores de dos rectas paralelas sean proporcionales. Esto asegura que las direcciones coinciden.

Las ecuaciones simétricas de la recta que es paralela a la recta (x, y, z) = (6, -4, 7)t + (5, -2, -1) y que contiene al punto (-2, -3, 4) son: 
1. (x + 2)/6 = (y + 3)/-4 = (z - 4)/7 
2. (x + 2)/5 = (y + 3)/-2 = (z - 4)/-1 
3. (x - 6)/-2 = (y + 4)/-3 = (z - 7)/4 
4. (x - 5)/6 = (y + 2)/-4 = (z + 1)/7

Learn how to find the symmetric equations of a line that is parallel to a given line and passes through a specific point in 3D space. This problem covers key concepts in analytic geometry, including symmetric equations, vectors, and line equations. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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