Cual es la derivada de la siguiente ecuacion, podrias explicarla paso a paso por favor: \frac{d}{dx}\left(\frac{-x^3-4x+1}{x-1}\right)

Para encontrar la derivada de la función \(\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^3-4x+1}{x-1}\right)\), vamos a usar la regla del cociente, que se aplica cuando tienes una función que es el cociente de dos funciones. La regla del cociente dice:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
\]

En este caso, podemos identificar \(f(x)\) y \(g(x)\) de la siguiente manera:

- \(f(x) = -x^3 - 4x + 1\)
- \(g(x) = x - 1\)

### Paso 1: Derivadas de \(f(x)\) y \(g(x)\)
Primero, necesitamos encontrar las derivadas de \(f(x)\) y \(g(x)\) con respecto a \(x\):

- Derivada de \(f(x)\): 
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-x^3 - 4x + 1\right)
\]
Derivamos cada término:
\[
f'(x) = -3x^2 - 4
\]

- Derivada de \(g(x)\): 
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}\left(x - 1\right) = 1
\]

### Paso 2: Aplicar la regla del cociente
Ahora aplicamos la regla del cociente usando las derivadas encontradas:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^3 - 4x + 1}{x-1}\right) = \frac{(-3x^2 - 4)(x - 1) - (-x^3 - 4x + 1)(1)}{(x - 1)^2}
\]

### Paso 3: Simplificación del numerador
Expandimos y simplificamos el numerador:

1. Expansión del primer término:
\[
(-3x^2 - 4)(x - 1) = -3x^3 + 3x^2 - 4x + 4
\]

2. Expansión del segundo término:
\[
-(-x^3 - 4x + 1) = x^3 + 4x - 1
\]

3. Combinamos los términos:
\[
-3x^3 + 3x^2 - 4x + 4 + x^3 + 4x - 1 = -2x^3 + 3x^2 + 3
\]

Entonces, el numerador simplificado es:
\[
-2x^3 + 3x^2 + 3
\]

### Paso 4: Escribir la derivada final
Finalmente, sustituimos el numerador simplificado en la expresión de la derivada:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^3 - 4x + 1}{x-1}\right) = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 3}{(x - 1)^2}
\]

Esta es la derivada simplificada de la función dada.

¿Deseas detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan funciones polinómicas de mayor grado?
2. ¿Cómo afecta la regla del cociente cuando el denominador es una función más compleja?
3. ¿Qué pasa si el denominador tiene una raíz en \(x = 1\)?
4. ¿Cómo se pueden simplificar funciones antes de derivar?
5. ¿Qué otras reglas de derivación existen para funciones que no son cocientes?

**Tip:** Antes de aplicar la regla del cociente, verifica si la función se puede simplificar, lo que podría evitar un trabajo algebraico innecesario.

Learn how to find the derivative of the function (-x^3 - 4x + 1)/(x - 1) using the quotient rule with detailed step-by-step explanation. This problem involves derivatives of polynomial functions and the application of the quotient rule. Suitable for advanced high school students.

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