Le but du problème est de résoudre sur R l’équation : sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0. ( E )
1) Montrer qu’il suffit de résoudre l’équation sur [ 0 ,  ] .
2) Première méthode :
a) Ecrire sin(2x) en fonction de sin(x) et cos(x) , puis sin(3x) en fonction de sin(x).
b) Montrer que : ( E )  2 sin(x) cos(x) ( 1 + 2cos(x) ) = 0

Pour résoudre le problème donné, nous allons suivre les étapes demandées. 

**1) Montrer qu’il suffit de résoudre l’équation sur \([0, \pi]\).**

L'équation à résoudre est périodique avec une période de \(2\pi\), puisque les fonctions trigonométriques \( \sin(x) \), \( \sin(2x) \), et \( \sin(3x) \) sont périodiques de période \(2\pi\). En analysant les symétries, on remarque que les solutions dans l'intervalle \([0, \pi]\) se répètent dans les intervalles suivants par translation de \(2\pi\). De plus, les fonctions sinus présentent des symétries par rapport aux points multiples de \(\pi\). Par conséquent, il suffit de résoudre l'équation sur \([0, \pi]\), et ensuite d'étendre les solutions à \(\mathbb{R}\) par périodicité.

**2) Première méthode :**

**a) Écrire \(\sin(2x)\) en fonction de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\), puis \(\sin(3x)\) en fonction de \(\sin(x)\).**

Pour \(\sin(2x)\) :
\[
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)
\]

Pour \(\sin(3x)\), en utilisant l'identité \(\sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)\), et sachant que \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\) :
\[
\sin(3x) = (2\sin(x)\cos(x))\cos(x) + (1 - 2\sin^2(x))\sin(x)
\]
\[
\sin(3x) = 2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(x) - 2\sin^3(x)
\]
\[
\sin(3x) = \sin(x) (2\cos^2(x) + 1 - 2\sin^2(x))
\]
\[
\sin(3x) = \sin(x) (3 - 4\sin^2(x))
\]

**b) Montrer que : \((E) \Leftrightarrow 2 \sin(x) \cos(x) (1 + 2\cos(x)) = 0\)**

Substituons \(\sin(2x)\) et \(\sin(3x)\) dans l'équation initiale :

\[
\sin(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \sin(x) (3 - 4\sin^2(x)) = 0
\]
En factorisant par \(\sin(x)\) :

\[
\sin(x) \left(1 + 2\cos(x) + (3 - 4\sin^2(x))\right) = 0
\]
Puis simplifions \(\sin(3x)\):

\[
\sin(x) (1 + 2\cos(x) + 3 - 4\sin^2(x)) = 0
\]
\[
\sin(x) (4 - 4\sin^2(x) + 2\cos(x)) = 0
\]

Sachant que \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), alors \(- 4\sin^2(x) = -4(1 - \cos^2(x)) = 4\cos^2(x) - 4\):

\[
\sin(x) \left(2 \cos(x) (1 + 2 \cos(x))\right) = 0
\]

Ainsi, on a bien montré que \((E) \Leftrightarrow 2 \sin(x) \cos(x) (1 + 2\cos(x)) = 0\).

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir :

1. Comment résoudre \( \sin(x) = 0 \) sur l'intervalle \([0, \pi]\) ?
2. Comment résoudre \( \cos(x) = 0 \) sur l'intervalle \([0, \pi]\) ?
3. Comment résoudre \( 1 + 2\cos(x) = 0 \) sur l'intervalle \([0, \pi]\) ?
4. Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?
5. Comment généraliser les solutions obtenues dans \([0, \pi]\) à \(\mathbb{R}\) ?

**Tip :** Utilisez les identités trigonométriques pour simplifier les expressions complexes et pour établir des équivalences utiles lors de la résolution d'équations trigonométriques.

Le but du problème est de résoudre sur R l’équation : sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0. ( E ) 1) Montrer qu’il suffit de résoudre l’équation sur [ 0 , π ] . 2) Première méthode : a) Ecrire sin(2x) en fonction de sin(x) et cos(x), puis sin(3x) en fonction de sin(x). b) Montrer que : ( E ) ⇔ 2 sin(x) cos(x) ( 1 + 2cos(x) ) = 0.

Learn how to solve the trigonometric equation sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0 on the interval [0, π]. This detailed solution explains key trigonometric identities such as sin(2x) and sin(3x), and shows how to simplify and solve using factorization techniques. Suitable for Grades 10-12.

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