Para resolver la inecuación \( \frac{3x + 1}{2x - 5} < 0 \), primero necesitamos encontrar los puntos donde la expresión cambia de signo, es decir, los puntos donde la fracción es igual a 0 o indefinida.

### Paso 1: Encontrar las raíces del numerador y denominador.
1. **Numerador:** \( 3x + 1 = 0 \)  
   \( x = -\frac{1}{3} \)

2. **Denominador:** \( 2x - 5 = 0 \)  
   \( x = \frac{5}{2} \)

### Paso 2: Determinar los intervalos y signos.
Dividimos la recta numérica en intervalos basados en las raíces encontradas:

- Intervalo 1: \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \)
- Intervalo 2: \( (-\frac{1}{3}, \frac{5}{2}) \)
- Intervalo 3: \( (\frac{5}{2}, \infty) \)

Ahora, evaluamos el signo de la fracción en cada intervalo.

### Paso 3: Signos en los intervalos
1. **Intervalo 1:** \( x = -1 \)
   \[
   \frac{3(-1) + 1}{2(-1) - 5} = \frac{-3 + 1}{-2 - 5} = \frac{-2}{-7} > 0
   \]
2. **Intervalo 2:** \( x = 0 \)
   \[
   \frac{3(0) + 1}{2(0) - 5} = \frac{1}{-5} < 0
   \]
3. **Intervalo 3:** \( x = 3 \)
   \[
   \frac{3(3) + 1}{2(3) - 5} = \frac{9 + 1}{6 - 5} = \frac{10}{1} > 0
   \]

### Paso 4: Solución de la inecuación
La inecuación es menor que 0 en el intervalo donde la fracción es negativa:
\[ \boxed{\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{2}\right)} \]

### Paso 5: Graficar
Para graficar, dibuja una recta numérica y marca los puntos \( x = -\frac{1}{3} \) y \( x = \frac{5}{2} \). En este caso, sombrearemos la región entre estos puntos, excluyendo ambos extremos, ya que la inecuación es estrictamente menor que 0.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas?
2. ¿Qué ocurre si la inecuación es mayor que 0?
3. ¿Cómo se determinan los signos de las fracciones en diferentes intervalos?
4. ¿Cómo se grafican inecuaciones en el plano cartesiano?
5. ¿Qué cambios ocurren si el numerador o denominador tiene factores cuadráticos?

**Tip:** Siempre verifica los signos en cada intervalo para asegurarte de que estás evaluando correctamente la inecuación.

Learn how to solve the inequality (3x + 1) / (2x - 5) < 0 with detailed step-by-step instructions and interval analysis. This problem involves rational functions and requires understanding interval sign analysis to determine the solution intervals. Suitable for high school students studying algebra and inequalities.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation